1) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir área máxima. Qual é o quociente de um lado pelo outro? (Iezzi, vol. 1, pg. 150, ex. 274).

Resolução:

Vamos considerar que a parede de tijolos terá o tamanho que precisarmos. Então os 400 metros de tela de arame servirão para completar os outros 3 lados do retângulo do curral.

Chamando de x a medida dos lados adjacentes ao muro e de y a medida do lado oposto ao muro, veja um esboço:

         Muro

+++++++++++

|                    |

|x               x|

|___________|

          y

Então temos que o comprimento da cerca será:

x + y + x = 400m

2x + y = 400m ( i )

E queremos que a área seja máxima:

Área = x . y = máxima

De ( i ) podemos tirar y = 400 – 2x e substituir na área:

Área = x . y = máxima

Área = x . (400 – 2x)

Área = – 2x² + 400x

Essa função da área é uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola de “boca pra baixo”, e que tem portanto valor máximo no vértice. Sabemos que a abcissa do vértice se dá no ponto x = -b / 2a (para uma função do tipo f(x) = ax²+bx+c).

Então teremos a área máxima quando:

x = -b / 2a

x = -400 / 2.(-2)

x = -400 / (-4)

x = 100

E consequentemente:

y = 400 – 2x

y = 400 – 2 . 100

y = 400 – 200

y = 200

A pergunta é “qual o quociente de um lado pelo outro?” Na verdade temos duas possibilidades: x / y ou y / x, então:

x / y = 100 / 200 = 1 / 2

y / x = 200 / 100 = 2