2) Determinar a área de um quadrado, sabendo que seu lado é segmento áureo do quadrado inscrito num círculo de raio 10 cm.

Resolução:

Primeiro vamos ver o que significa o “segmento áureo”. A medida áurea, é um número conhecido na matemática por algumas propriedades interessantes. Sabemos que o número áureo é [raiz(5) – 1] / 2, e quando dizemos que um segmento é um segmento áureo de um quadrado, queremos dizer que este segmento tem medida igual ao lado do quadrado vezes o número áureo.

Primeiro vamos calcular o lado do quadrado inscrito no círculo de raio 10cm. O que nos dá um quadrado com uma diagonal de 20 cm.

Como a diagonal = lado . raiz(2)

20 = lado . raiz(2)

lado = 20 / raiz(2), racionalizando,

lado = 20 . raiz(2) / 2

lado = 10 . raiz(2)

Se o lado do quadrado que queremos calcular é segmento áureo desse quadrado de lado 10.raiz(2), o lado do nosso quadrado será:

= 10.raiz(2) . [raiz(5) – 1] / 2

= 5.raiz(2) [raiz(5) – 1]

= 5.raiz(10) – 5.raiz(2)

A área desse quadrado é lado²:

Área = [5.raiz(10) – 5.raiz(2)]²

Área = 25.10 – 2 . 25 . raiz(20) + 25.2

Área = 250 – 50 . 2.raiz(5) + 50

Área = 300 – 100.raiz(5), fatorando,

Área = 100 . [3 – raiz(5)] cm²