Resolução:
Se a bobina tem raio interno de 5cm e raio externo de 10cm, isso quer dizer que a espessura da bobina, vista de lado é de 5cm. Como a espessura do papel é 0,01cm, podemos calcular quantas voltas foram dadas nessa bobina para que esse papel de espessura 0,01cm ficasse com uma espessura de 5cm. Faremos uma regra de três:
espessura voltas
0,01 1
5 x
0,01x = 5
x = 5/0,01
x = 500 voltas
Então, imagine que você pegou uma fita, de espessura 0,01cm e foi enrolando, até dar 500 voltas, o que deu uma bobina de espessura 5cm. Então para sabermos o comprimento total da bobina, podemos pensar no comprimento de cada volta que é mais simples. A 1ª volta, tem o raio interno da bobina, que é de 5cm. A 2ª volta, tem o raio interno da bobina mais a espessura do papel, porque já foi dada uma volta abaixo dela, o que nos dá 5,01cm. A 3ª volta terá o raio interno, mais a espessura das duas voltas anteriores, que nos dá 5,02cm. E assim por diante, temos algo assim:
volta raio (cm)
1 5 = raio interno
2 5,01
3 5,02
4 5,03
… …
499 9,98
500 9,99
Tendo o raio de cada volta podemos calcular o comprimento do papel em cada volta, já que o comprimento do papel será o comprimento da circunferência com o raio naquela volta. Como o comprimento da circunferência é dado por 2.pi.r:
volta comprimento (cm)
1 2.pi.5
2 2.pi.5,01
3 2.pi.5,02
4 2.pi.5,03
… …
499 2.pi.9,98
500 2.pi.9,99
E para sabermos o comprimento do papel todo, temos que somar tudo isso:
= 2.pi.5 + 2.pi.5,01 + 2.pi.5,02 + 2.pi.5,03 + … + 2.pi.9,98 + 2.pi.9,99
Colocando 2.pi em evidência:
= 2.pi.(5 + 5,01 + 5,02 + 5,03 + … + 9,98 + 9,99)
Agora veja que dentro dos parêntesis temos a soma de uma PA de 1º termo 5 e razão 0,01. Usando a fórmula da soma dos “n” primeiros termos da PA:
Sn = (a1 + an).n/2
S500 = (a1 + a500).500/2
S500 = (5 + 9,99).500/2
S500 = (14,99).250
S500 = 3747,5
Então temos:
= 2.pi.(5 + 5,01 + 5,02 + 5,03 + … + 9,99 + 10)
= 2.pi.3747,5
= 7495.pi
Resposta: O comprimento da bobina desenrolada é de 7495.pi cm.