5) Comecemos com 7 folhas e cortemos algumas em 7 pedaços menores cada uma. A seguir, alguns desses pedaços são cortados em 7 pedaços ainda menores e assim sucessivamente. Finalmente o processo é interrompido e verifica-se que o número total de pedaços de papel é um número entre 1988 e 1996. Qual o número exato de pedaços de papel?

Resolução:

Pense o seguinte, se você tem um pedaço de folha e corta-o em 7 pedaços, quantos pedaços a mais você tem agora? Você tem mais 6 pedaços, porque você já tinha 1 e devem aparecer mais 6 para você ficar com 7.

Então, se você começa com 7 pedaços e escolhe 1 deles para cortar em 7, você terá:

= o que você tinha antes + 6 pedaços

= 7 + 6 = 13

Se você pegar dois pedaços e cortá-los em 7, você ficará com:

= o que você tinha antes + 6 pedaços + 6 pedaços

= 7 + 6 + 6 = 19

Ou seja, se você escolher “n” pedaços, você ficará com:

= o que você tinha antes + 6n pedaços

= 7 + 6.n

Depois dessa primeira escolha, você faz o mesmo, mas não muda nada, cada vez que você pega um pedaço e corta-o em 7, você está somando mais 6 pedaços ao conjunto anterior. Assim, podemos pensar na quantidade total de papéis, como uma PA de razão 6, pois você estará somando sempre 6 pedaços a cada divisão em 7 partes.

Então, temos que achar um termo da PA de primeiro termo a1 = 7 (começamos com 7 folhas) e razão r = 6 que esteja entre 1988 e 1996. Podemos escrever a PA assim: a_n = 7 + 6n, onde “n” é o número de vezes que você dividiu um pedaço em 7. Então, vamos escrever o intervalo:

1988 < 7 + 6n < 1996, tirando 7 dos membros,

1988 – 7 < 7 – 7 + 6n < 1996 – 7

1981 < 6n < 1989, dividindo tudo por 6,

330,1666… < n < 331,5

Então, “n” é um inteiro entre 330,17 e 331,5, assim, “n” só pode ser 331. E agora podemos saber o número de pedaços:

nº de pedaços = 7 + 6n

nº de pedaços = 7 + 6.331

nº de pedaços = 7 + 1986

nº de pedaços = 1993

Resposta: O número exato de pedaços de papel é 1993.