2) Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?

Resolução:

Vamos tomar dois termos distintos de uma PA de primeiro termo a1 e razão “r”. Vamos pegar o p-ésimo e o q-ésimo termo:

a_p = a₁ + (p – 1).r

a_q = a₁ + (q – 1).r

E vamos somá-los:

a_p + a_q = a₁ + (p – 1).r + a₁ + (q – 1).r

a_p + a_q = 2.a₁ + (p – 1).r + (q – 1).r

a_p + a_q = 2.a₁ + [(q – 1) + (p – 1)].r

a_p + a_q = 2.a₁ + (q – 1 + p – 1).r

a_p + a_q = 2.a₁ + (p + q – 2).r

Queremos que essa soma seja um elemento da PA também. Como p e q são inteiros maiores do que 1, a soma p + q – 2 também é um número inteiro maior que 1.

Então veja que a soma dos dois termos é 2 vezes o a1 mais (p + q – 2) vezes a razão, mas todo termo de uma PA, quando você soma a razão qualquer número de vezes, você obtém outro termo da PA. Da mesma forma, se você tirar a razão um certo número de vezes, você também obtém um termo da PA.

Então, se eu tirar desse termo (a_p + a_q), (p + q – 2) vezes a razão, encontrarei o termo 2.a₁, que deve pertencer à PA.

Podemos concluir então que, toda PA onde 2.a₁ (o dobro do primeiro termo da PA) também é um termo da PA, tem a propriedade de que a soma de dois termos quaisquer também é um termo da PA.

Resposta: As progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão são aquelas em que o dobro do primeiro termo também faz parte da progressão.