4) Um tipógrafo está montando um pequeno dicionário e no primeiro dia de trabalho, fez a montagem de 35 linhas. Por questões contratuais, o mesmo deverá possuir 27 páginas e cada página terá 21 linhas. Sabe-se que esta pessoa, em cada dia de trabalho, produz o mesmo número de linhas do dia anterior mais 7 linhas. Assim, o tipógrafo terminará o dicionário em quantos dias?

Resolução:

Primeiro vamos pensar no problema em função das linhas que ele tem que montar. Como temos 27 páginas com 21 linhas, temos um total de 567 linhas. Repare que o tipógrafo trabalha como numa PA, no primeiro dia ele fez 35 linhas e a cada dia faz o mesmo do dia anteriro mais 7, o que caracteriza uma PA de primeiro termo a₁ = 35 e razão r = 7:

a₁ = 35

a₂ = 42

a₃ = 49

…

a_n = 35 + (n – 1).7

Acima temos então o termo geral da PA, para o número “n” de dias. Então queremos saber para que “n” a soma dessa PA é igual a 567. Sabemos que a fórmula da soma da PA é:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

Como não temos o valor de “a_n“, podemos escrevê-lo da forma que escrevi acima, em função de “n”, e aí teremos:

S_n = (a₁ + a_n).n/2

S_n = [a₁ + 35 + (n – 1).7].n/2

567 = [35 + 35 + (n – 1).7].n/2

1134 = [35 + 35 + (n – 1).7].n

1134 = [35 + 35 + 7n – 7].n

1134 = [63 + 7n].n

1134 = 63n + 7n²

7n² + 63n – 1134 = 0, divide tudo por 7,

n² + 9n – 162 = 0, resolvendo essa equação,

(n – 9).(n + 18) = 0

n = 9 ou n = -18

Como “n” é o número de dias, só pode ser positivo, então…

Resposta: O tipógrafo terminará o dicionário em 9 dias.