Resolução:
Você tem que perceber que como ele está somando as páginas de um livro, supomos que ele começa a somar:
1 + 2 + 3 + 4 + …
Isso é a soma de uma PA de 1º termo a1 = 1 e razão r = 1. Aí, sabemos que a soma dele deu 1986, mas teve uma página a mais. Então se fizermos a soma da PA do 1 até um número “n”, tal que essa soma seja menor que 1986, saberemos quantos números foram somados e a diferença da soma desses números para 1986 é o que foi somado a mais.
Vejamos a soma da PA até o termo n:
Sn = (a1 + an).n/2
onde Sn = soma até o termo n
a1 = 1º termo
an = “n-ésimo” termos
n = nº de termos
Como o “n-ésimo” termo de uma PA é dado por:
an = a1 + (n – 1).r
onde r = razão
Podemos colocar esse valor de an na fórmula da soma:
Sn = (a1 + an).n/2
Sn = [a1 + a1 + (n – 1).r].n/2
E substituindo os valores, tal que essa soma seja menor que 1986:
[a1 + a1 + (n – 1).r].n/2 < 1986
(2a1 + n.r – r).n/2 < 1986
(2.1 + n.1 – 1).n/2 < 1986
(2 + n – 1).n/2 < 1986
(n + 1).n/2 < 1986
(n + 1).n < 3972
n² + n – 3972 < 0
Usando a fórmula de Báskara descobrimos o valor de n para o qual essa equação é igual a zero:
n = [-1 +- raiz(1 – 4.(-3972))]/2
n = [-1 +- raiz(1 + 15888)]/2
n = [-1 +- raiz(15889)]/2, aproximando a raiz,
n = [-1 +- 126]/2
n = -127/2 ou n = 125/2
Como “n” é o nº de páginas, só pode ser positivo, então:
n = 62,5
Isso quer dizer que para ele ir somando as páginas de 1 até “n” e essa soma dar 1986, ele teria que somar aproximadamente 62,5 páginas. Então ele somou 62 páginas e o que está sobrando é a página que ele somou a mais. Então vamos fazer a soma para 62 páginas:
Sn = (a1 + an).n/2
Sn = [a1 + a1 + (n – 1).r].n/2
Sn = [1 + 1 + (62 – 1).1].62/2
Sn = (2 + 61).62/2
Sn = 63.31
Sn = 1953
Como a soma dele deu 1986, a diferença é:
1986 – 1953 = 33
Resposta: A página somada a mais foi a de nº 33.