3) Sendo log [raiz(7) – 2] base 3 = a, então determine o valor de:

log₃[raiz(7) + 2]

Resolução:

Para essa questão teremos que saber a propriedade do logaritmo do produto:

log_a(b.c) = log_ab + log_ac

Então vamos ao que temos:

log₃[raiz(7)-2] = a

Pela definição do que é logaritmo, podemos escrever a partir disso que:

raiz(7) – 2 = 3^a

Agora veja o que acontece se multiplicarmos os dois membros por raiz(7) + 2:

[raiz(7) + 2].[raiz(7) – 2] = [raiz(7) + 2].3^a

No primeiro membro temos o produto da soma pela diferença, que dá o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo:

[raiz(7) + 2].[raiz(7) – 2] = [raiz(7) + 2].3^a

raiz(7)² – 2² = [raiz(7) + 2].3^a

7 – 4 = [raiz(7) + 2].3^a

3 = [raiz(7) + 2].3^a

E agora ficou bom porque podemos tirar o log(base 3) dos dois membros para acharmos o que queremos:

3 = [raiz(7) + 2].3^a

log₃3 = log₃{[raiz(7) + 2].3^a}

1 = log₃{[raiz(7) + 2].3^a}

No segundo membro vamos usar quela propriedade do logaritmo do produto que coloquei no início:

1 = log₃[raiz(7) + 2] + log₃3^a

1 = log₃[raiz(7) + 2] + a.log₃3

1 = log₃[raiz(7) + 2] + a

1 – a = log₃[raiz(7) + 2]

Resposta: log₃[raiz(7) + 2] = 1 – a