3) Sendo log [raiz(7) – 2] base 3 = a, então determine o valor de:

log3[raiz(7) + 2]

Resolução:

Para essa questão teremos que saber a propriedade do logaritmo do produto:

loga(b.c) = logab + logac

Então vamos ao que temos:

log3[raiz(7)-2] = a

Pela definição do que é logaritmo, podemos escrever a partir disso que:

raiz(7) – 2 = 3a

Agora veja o que acontece se multiplicarmos os dois membros por raiz(7) + 2:

[raiz(7) + 2].[raiz(7) – 2] = [raiz(7) + 2].3a

No primeiro membro temos o produto da soma pela diferença, que dá o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo:

[raiz(7) + 2].[raiz(7) – 2] = [raiz(7) + 2].3a

raiz(7)² – 2² = [raiz(7) + 2].3a

7 – 4 = [raiz(7) + 2].3a

3 = [raiz(7) + 2].3a

E agora ficou bom porque podemos tirar o log(base 3) dos dois membros para acharmos o que queremos:

3 = [raiz(7) + 2].3a

log33 = log3{[raiz(7) + 2].3a}

1 = log3{[raiz(7) + 2].3a}

No segundo membro vamos usar quela propriedade do logaritmo do produto que coloquei no início:

1 = log3[raiz(7) + 2] + log33a

1 = log3[raiz(7) + 2] + a.log33

1 = log3[raiz(7) + 2] + a

1 – a = log3[raiz(7) + 2]

Resposta: log3[raiz(7) + 2] = 1 – a

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