2) Determine o valor de y que satisfaz a igualdade:

log_y49 = log_y²7 + log_2y7

Resolução:

Essa é bem difícil e você precisa saber a propriedade de logaritmo que diz que se a base está elevada a um expoente qualquer, você pode tirar esse expoente e multiplicar o logaritmo pelo inverso desse expoente. Além da propriedade de passar o expoente do logartimando multiplicando o logaritmo.

Então vamos ver:

log_y49 = log_y²7 + log_2y7

log_y7² = log_y²7 + log_2y7

Passando o expoente do logaritmando multiplicando:

2.log_y7 = log_y²7 + log_2y7

Passando o inverso do expoente da base multiplicando:

2.log_y7 = log_y²7 + log_2y7

2.log_y7 = (1/2).log_y7 + log_2y7

2.log_y7 – (1/2).log_y7 = log_2y7

[2 – (1/2)].log_y7 = log_2y7

(3/2).log_y7 = log_2y7

E agora usando a propriedade inversa do expoente da base, se um logaritmo está multiplicando por algum número, podemos colocar o inverso desse número como expoente da base:

(3/2).log_y7 = log_2y7

log_[y^(2/3)]7 = log_2y7

E agora, como temos dois logaritmos iguais do mesmo logaritmando (7), as bases têm que ser as mesmas:

y^2/3 = 2y

Elevando os dois membros ao cubo:

y^2/3 = 2y

y^(2/3)³ = (2y)³

y² = 8y³

8y³ – y² = 0

y².(8y – 1) = 0

y = 0 ou y = 1/8

Como y é base de logaritmo, não pode ser igual a zero. Então só nos sobra uma resposta: y = 1/8.