I) B é idempotente;
II) AB = BA;
III) B é inversível;
IV) A2 + B2 = I;
V) AB é simétrica.
a) todas são verdadeiras
b) apenas uma é verdadeira
c) duas são verdadeiras
d) três são verdadeiras
e) quatro são verdadeiras
Resolução:
Só sabemos que A tem inversa, que A2 = A e que B = I – A. Além disso, a matriz identidade vezes outra matriz qualquer dá sempre a outra matriz. Para dizer que algo é falso, basta darmos um exemplo que prove o contrário. Então vamos ver cada item:
I) Temos que provar que B2 = B. Então vamos escrever B como nos foi dado:
B2 = B
(I – A)2 = I – A
(I – A).(I – A) = I – A
(I – A).I – (I – A).A = I – A
(I – A) – (I.A – A2) = I – A
(I – A) – (A – A) = I – A
(I – A) – 0 = I – A
I – A = I – A
Esse item é verdadeiro.
Obs.: Onde escrevi “0” quis dizer que é uma matriz quadrada da mesma dimensão de A onde todos os elementos são iguais a zero.
II) Vamos escrever B em função de A e fazer os produtos:
AB = BA
A.(I – A) = (I – A).A
A.I – A2 = I.A – A2
A – A = A – A
0 = 0
Esse item também é verdadeiro.
III) Nesse caso, não temos uma coisa verdadeira. Para provar isso, podemos perceber que:
B = I – A
BA = (I-A)A
BA = A – A2
BA = A – A
BA = 0
E daí tiramos diretamente que:
det(AB) = 0
det(AB) = det(A).det(B) (teorema de binet)
E você pode concluir diretamente que B não é inversível pois uma matriz só é inversível se e só se seu determinante é diferente de zero. Nesse caso, como o det (A) é diferente de zero, o determinante de B é zero. Essa é falsa.
Agradeço à resolução enviada por Matheus Costa Moulin, pois a minha estava errada.
IV) Vamos escrever B em função de A novamente:
A2 + B2 = I
A2 + (I – A)2 = I
A2 + I2 – 2.I.A + A2 = I
A + I – 2.A + A = I
A – 2.A + A + I = I
2.A – 2.A + I = I
I = I
Esse item também é verdadeiro.
V) AB é simétrica. Já vimos no item II que AB é simétrica, pois se AB = 0 (matriz com todos os elementos iguais a zero) se você pegar a transposta desta ela será igual à matriz original.
Esse item é verdadeiro.
Resposta: Alternativa e) 4 itens são verdadeiros.