1) Seja uma matriz real quadrada de ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A é inversível e idempotente (A² = A) considere as afirmações:

I) B é idempotente;
II) AB = BA;
III) B é inversível;
IV) A+ B= I;
V) AB é simétrica.

a) todas são verdadeiras
b) apenas uma é verdadeira
c) duas são verdadeiras
d) três são verdadeiras
e) quatro são verdadeiras

Resolução:

Só sabemos que A tem inversa, que A2 = A e que B = I – A. Além disso, a matriz identidade vezes outra matriz qualquer dá sempre a outra matriz. Para dizer que algo é falso, basta darmos um exemplo que prove o contrário. Então vamos ver cada item:

I) Temos que provar que B2 = B. Então vamos escrever B como nos foi dado:

B2 = B

(I – A)2 = I – A

(I – A).(I – A) = I – A

(I – A).I – (I – A).A = I – A

(I – A) – (I.A – A2) = I – A

(I – A) – (A – A) = I – A

(I – A) – 0 = I – A

I – A = I – A

Esse item é verdadeiro.

Obs.: Onde escrevi “0” quis dizer que é uma matriz quadrada da mesma dimensão de A onde todos os elementos são iguais a zero. 

II) Vamos escrever B em função de A e fazer os produtos:

AB = BA

A.(I – A) = (I – A).A

A.I – A2 = I.A – A2

A – A = A – A

0 = 0

Esse item também é verdadeiro.

III) Nesse caso, não temos uma coisa verdadeira. Para provar isso, podemos perceber que:

B = I – A

BA = (I-A)A

BA = A – A2

BA = A – A

BA = 0

E daí tiramos diretamente que:

det(AB) = 0

det(AB) = det(A).det(B) (teorema de binet) 

E você pode concluir diretamente que B não é inversível pois uma matriz só é inversível se e só se seu determinante é diferente de zero. Nesse caso, como o det (A) é diferente de zero, o determinante de B é zero. Essa é falsa.

Agradeço à resolução enviada por Matheus Costa Moulin, pois a minha estava errada.

IV) Vamos escrever B em função de A novamente:

A2 + B2 = I

A2 + (I – A)2 = I

A2 + I2 – 2.I.A + A2 = I

A + I – 2.A + A = I

A – 2.A + A + I = I

2.A – 2.A + I = I

I = I

Esse item também é verdadeiro.

V) AB é simétrica. Já vimos no item II que AB é simétrica, pois se AB = 0 (matriz com todos os elementos iguais a zero) se você pegar a transposta desta ela será igual à matriz original.

Esse item é verdadeiro.

Resposta: Alternativa e) 4 itens são verdadeiros.

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *