[det (A-1.B.A)] / (det B)?
Resolução:
Vamos usar a regra de que o determinante do produto das matrizes é igual ao produto dos determinantes:
= [det(A-1.B.A)] / [det B]
= (det A-1).(det B).(det A) / (det B)
Como o determinante é um número, e temos o det B no numerador e no denominador, podemos cancelar:
= (det A-1).(det B).(det A) / (det B)
= (det A-1).(det A)
Agora vamos usar a mesma regra ao contrário, o produto dos determinantes é o determinante do produto:
= (det A-1).(det A)
= det (A-1.A)
Mas pela definição de matriz inversa, quando você multiplica uma matriz pela sua inversa você obtém a matriz identidade:
= det (A-1.A)
= det I
E o determinante da matriz identidade de qualquer ordem é sempre igual a 1.