Resolução:
Veja a figura abaixo para facilitar.
Traçadas as diagonais como no enunciado, sendo ABCDEF um hexágono regular, sabemos que o ângulo FAB mede 120° (ângulo interno de um hexágono). Mas como o triângulo FAB é isósceles achamos que:
AFB + ABF = 60°
E como AFB = ABF:
AFB = ABF = 30°
Sendo assim, podemos concluir pelos ângulos internos de AFB que o ângulo EAB mede 90°.
Da mesma maneira, como o ângulo AFE mede 120° (ângulo interno de um hexágono) e o triângulo FAE é isósceles achamos que:
AEF = EAF = 30°
Agora veja que AIF é isósceles também, então:
AI = IF
Mas os triângulos retângulos ABI e EFI são semelhantes, pois têm todos os ângulos congruentes. E como AI = IF, os triângulos ABI e EFI são congruentes:
IB = EI
Como o ângulo FEI = 30°, podemos escrever o seno de 30°:
sen 30° = IF/EI
1/2 = IF/EI
EI = 2.IF
Mas como vimos que IB = EI:
EI = 2.IF
IB = 2.IF