1) ABCDEF é um hexágno regular cujas diagonais AE e BF se cortam em I. Mostrar que IB = 2.IF.

Resolução:

Veja a figura abaixo para facilitar.

diagonais do hexágno

Traçadas as diagonais como no enunciado, sendo ABCDEF um hexágono regular, sabemos que o ângulo FAB mede 120° (ângulo interno de um hexágono). Mas como o triângulo FAB é isósceles achamos que:

AFB + ABF = 60°

E como AFB = ABF:

AFB = ABF = 30° 

Sendo assim, podemos concluir pelos ângulos internos de AFB que o ângulo EAB mede 90°. 

Da mesma maneira, como o ângulo AFE mede 120° (ângulo interno de um hexágono) e o triângulo FAE é isósceles achamos que:

AEF = EAF = 30°

Agora veja que AIF é isósceles também, então:

AI = IF

Mas os triângulos retângulos ABI e EFI são semelhantes, pois têm todos os ângulos congruentes. E como AI = IF, os triângulos ABI e EFI são congruentes:

IB = EI

Como o ângulo FEI = 30°, podemos escrever o seno de 30°:

sen 30° = IF/EI

1/2 = IF/EI

EI = 2.IF

Mas como vimos que IB = EI:

EI = 2.IF

IB = 2.IF

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