Resolução:
Digamos que x sejam os reais e y sejam os centavos. Podemos escrever o número correto assim:
x,y
Sabemos então que x e y são números naturais, de 1 ou 2 algarismos e além disso y é maior que x, pois a pessoa recebeu mais do que devia. Já que eles foram trocados de lugar pelo caixa, nenhum deles pode ter mais do que 2 algarismos, que é a quantidade de algarismos nos centavos da moeda. Como no cheque foram trocados os números, ficamos com:
y,x
E sabe-se que pagando errado, pagou-se 22 centavos a menos do que o triplo da quantia correta, que podemos escrever:
y,x = 3.(x,y) – 0,22
0,22 = 3.(x,y) – y,x
3.(x,y) – y,x = 0,22
E podemos fazer o seguinte:
3.(x,y) – y,x = 0,22
(3x,3y) – y,x = 0,22
Com o cuidado de que quando multiplicamos 3 vezes o y dos centavos, pode ser que “vai um”, se y for maior que 33. E pode até ir 2 se y for um número maior. O maior que valor que y pode assumir é 99, e nesse caso, 3 vezes 99 dá 297, e só vão 2 para os reais porque cada 100 centavos é um real.
Então temos que considerar os três casos:
i) Quando não vai nada (y < 34)
ii) Quando vai 1 (33< y < 89)
iii) Quando vão 2 (88< y <= 99)
Caso i) Não vai nada! Então nossa equação fica assim:
(3x,3y) – y,x = 0,22
Ao fazermos essa subtração, subtraímos centavos de centavos e real de real:
3y – x = 22 (centavos)
3x – y = 0 (reais)
Então da segunda equação tiramos que y = 3x e substituímos na primeira equação:
3y – x = 22
3.3x – x = 22
8x = 22
x = 11/4
Mas x tem que ser um número inteiro, então esse não é o caso.
Caso ii) Vai 1 ao fazermos 3y:
Como vai um ao fazermos 3y, na verdade na casa dos centavos do número 3x,3y teremos 3y – 100, porque vai um. E na casa dos reais temos 3x + 1. Então ficamos com:
(3x,3y) – y,x = 0,22
(3x + 1,3y – 100) – y,x = 0,22
Então quando fazemos as subtrações temos:
3x + 1 – y = 0
3y – 100 – x = 22
Isolando y na primeira equação:
y = 3x + 1
E colocando na segunda:
3y – 100 – x = 22
3.(3x + 1) – 100 – x = 22
8x – 97 = 22
8x = 119
x = 119/8
Mas x tem que ser um número inteiro, então esse também não é o caso.
Caso iii) Vão 2 ao fazermos 3y: Como vão dois ao fazermos 3y, na verdade na casa dos centavos do número 3x,3y teremos 3y – 200, porque vão 2. E na casa dos reais temos 3x + 2. Então ficamos com:
(3x,3y) – y,x = 0,22
(3x + 2,3y – 200) – y,x = 0,22
Então quando fazemos as subtrações temos:
3x + 2 – y = 0
3y – 200 – x = 22
Isolando y na primeira equação:
y = 3x + 2
E colocando na segunda:
3y – 100 – x = 22
3.(3x + 2) – 200 – x = 22
8x – 194 = 22
8x = 216
x = 216/8
x = 27
y = 3x + 2
y = 3.27 + 2
y = 83
Mas o problema pediu quanto é que devo devolver. Para isso vamos escrever os números certo e errado pra ver qual foi a diferença:
Certo = x,y = 27,83
Errado = y,x = 83,27
Diferença = y,x – x,y
Diferença = 83,27 – 27,83
Diferença = 55,44