Resolução:
Essa é bem enrolada! Mas devagar agente chega lá. “A soma das idades de A e R é 44 anos”. Se A tem “A” anos e R tem “R” anos, então:
A + R = 44 (i)
Agora vamos dividir essa frase em algumas partes, pegando do final pro começo:
“A tem o dobro da idade que R tinha, quando A tinha metade da idade que R terá quando R tiver 3 vezes a idade que A tinha quando A era 3 vezes mais velho que R”.
Antes de mais nada, sabemos que a diferença em anos entre as idades de duas pessoas é sempre constante. Vamos chamar essa diferença entre A e R de “y”. Então:
A – R = y (ii)
“a idade que A tinha quando A era 3 vezes mais velho que R”
Há alguns anos atrás, a idade de A era o triplo da idade de R. Digamos que isso foi a “x” anos atrás. Nessa época, A tinha “A – x” anos e R tinha “R – x” anos. Como A tinha o triplo de R:
A – x = 3.(R – x) (iii)
“R terá quando R tiver 3 vezes a idade que A tinha”
Como A tinha “A – x”, quando R tiver 3 vezes a idade de A terá:
3.(A – x)
“quando A tinha metade da idade que R”
Se R tinha 3.(A – x), e A tinha a metade disso, A tinha:
3.(A – x)/2 “idade que R tinha, quando A tinha metade da idade que R terá” Se A tinha 3.(A – x)/2 e a diferença entre as idades de A e de R é “y”, se tirarmos “y” da idade de A, teremos a idade de R:
3.(A – x)/2 – y
“A tem o dobro da idade que R tinha”
Hoje A tem “A” anos. Se R tinha 3.(A – x)/2 – y, e A tem o dobro disso, então A tem:
A = 2.[3.(A – x)/2 – y]
A = 3.(A – x) – 2y (iv)
Agora se pegarmos as equações (i), (ii), (iii) e (iv) podemos resolver um sistema:
A + R = 44
A – R = y
A – x = 3.(R – x)
A = 3.(A – x) – 2y
A + R = 44
A – R = y
A – x = 3R – 3x
A = 3A – 3x – 2y
A + R = 44
A – R = y
A – x + 3x = 3R
0 = 3A – A – 3x – 2y
A + R = 44 (i)
A – R = y (ii)
A + 2x = 3R (iii)
2A – 3x – 2y = 0 (iv)
Colocando o valor de y da equção (ii) na equação (iv):
2A – 3x – 2y = 0
2A – 3x – 2(A – R) = 0
2A – 3x – 2A + 2R = 0
– 3x + 2R = 0
2R = 3x (v)
Agora fazendo (iii) – (i):
A + 2x – A – R = 3R – 44
2x – R – 3R = – 44
2x – 4R = – 44, dividindo por 2,
x – 2R = – 22
Colocando o valor de 2R da equação (v) nesse resultado, temos:
x – 2R = – 22
x – 3x = – 22
– 2x = – 22
2x = 22
x = 22/2
x = 11
Da equação (v) achamos R:
2R = 3x
2R = 3.11
2R = 33
R = 33/2
Como A + R = 44 da equação (i):
A + R = 44
A + 33/2 = 44
A = 44 – 33/2
A = (88 – 33)/2
A = 55/2
Já temos as idades de A e R, mas o problema pediu a diferença entre elas, que é o valor de y:
y = A – R
y = 55/2 – 33/2
y = (55 – 33)/2
y = 22/2
y = 11