1) Os inteiros “a”, “b” e “c” possuem respectivamente 2, 3 e 5 algarismos, todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de “c” são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de “a”, “b” e “c” não altera a veracidade dessa equação. Qual o valor da soma a + b + c?

Resolução:

O problema diz que a.b = c e diz que se somarmos uma unidade a cada um dos algarismos de “a”, “b” e “c” essa equação continua valendo.

Num número de 2 algarismos, ao acrescentarmos uma unidade a cada um dos algarismos, estaremos somando 11 unidades ao número original. Isso porque estamos somando uma unidade ao algarismo das unidades, que equivale a 1 e estamos somando uma unidade ao algarismo das dezenas que equivale a somarmos 10 unidades ao número original. Veja:

25 somando uma unidade a cada algarismo:

36, que é 25 + 11

58 -> 69 (58 + 11)

O mesmo acontece com um número de 3 algarismos. Se somarmos uma unidade a cada algarismo, estaremos somando 111 unidades ao número original, pois uma unidade a mais no algarismo das centenas equivale a somarmos 100 unidades, uma unidade a mais no algarismo das dezenas equivale a somarmos 10 e uma unidade a mais no algarismo das unidades equaivale a somarmos 1 no número inicial.

137 -> 248 (137 + 111)

E assim você pode ver que se somarmos 1 unidade a cada algarismo de um número de 5 digitos, estaremos somando 11111 ao número original:

65764 -> 76875 (65764 + 11111)

O problema diz que “a” tem 2 algarismos, “b” tem 3 algarismos e “c” tem 5 algarismos. Sabemos que somando uma unidade a cada algarismo de “a” ficaremos com (a + 11); somando uma unidade a cada algarismo de “b” ficaremos com (b + 111); somando uma unidade a cada algarismo de “c” ficaremos com (c + 11111). E como a equação continua sendo verdadeira, podemos escrever:

(a + 11).(b + 111) = (c + 11111)

ab + 11b + 111a + 1221 = c + 11111

ab – c + 11b + 111a = 11111 – 1221, como ab = c,

c – c + 11b + 111a = 9890

11b + 111a = 9890

E daqui não podemos ir muito longe. Então, como sabemos que “a” e “b” são números inteiros vou mudar a cara dessa igualdade:

11b + 111a = 9890

11b = 9890 – 111a

b = 9890/11 – 111a/11

b = (899 + 1/11) – 111a/11

b = (899 + 1/11) – (10a + a/11)

b = 899 – 10a + 1/11 – a/11

b = 899 – 10a + (1 – a)/11

Agora veja como ficou. “b” é igual a 899 menos 10 vezes “a”, (que dá um número inteiro com certeza) mais (1 – a)/11. A única parte fracionária é esse final (1 – a)/11. Então essa parte fracionária, na verdade, tem que ser inteira (pois “b” é inteiro). Dessa forma, “a” tem que ser um múltiplo de 11 mais 1, porque ao fazermos (1 – a), ficaremos com um múltiplo de 11 e essa fração será um número inteiro.

a = 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89

Como o problema diz que “a” só tem dois algarismos e que todos os algarismos de todos os 3 números (a, b, c) são menores que 9, a não pode ser 89. Então “a” só pode ser:

a = 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78

E usando a equação “b = 899 – 10a + (1 – a)/11” para calcular os valores de “b” para cada um desses valores de “a”, você encontrará que “b” será respectivamente:

b = 778, 667, 556, 445, 334, 223, 112

E como a.b = c, podemos achar os valores de “c” correspondentes:

c = 9336, 15341, 18904, 20025, 18704, 14941, 8736

Agora, de acordo com o enunciado, “c” tem 5 algarismos, todos os algarismos diferentes e menores que 9. Para os valores de “c” que encontramos temos que eliminar todos menos 1:

9336 tem 4 algarismos

15341 tem dois dígitos 1

18904 tem um algarismo 9

20025 tem dígitos repetidos

14941 tem dígitos repetidos

8736 tem 4 algarismos

O único valor de “c” que vale é então 18704, e os valores de “a” e “b” correpondentes são 56 e 334 respectivamente. Como o problema pediu a + b + c:

a = 56, b = 334, c = 18704

a + b + c =

= 56 + 334 + 18704

= 19094

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