Resolução:
Para resolvermos isso podemos lembrar do desenvolvimento dos binômios. Onde eu escrever (n p) é o número binomial n, p que vale n!/[p!.(n-p)!]:
(x – a)n = (n 0).xn – (n 1)x(n-1).a + (n 2).x(n-2).a² – … + (n n-2).x².a(n-2) – (n n-1).x.a(n-1) + (n n).an
Os expoentes de x vão sempre diminuindo até que no último termo não temos x porque ele ficou elevado a zero. E os expoentes de “a” vão aumentando até chegar a n. O que isso tem a ver com o problema? É que podemos escrever 3 como 4 – 1 e ficaremos com:
(4 – 1)⁵⁰
Podemos então considerar 4 como sendo x do binômio e 1 como sendo “a”. Fazendo o desenvolvimento desse binômio temos:
(x – a)n = (n 0).xn – (n 1)x(n-1).a + … – (n n-1).x.a(n-1) + (n n).an
(4 – 1)⁵⁰ = (50 0).4⁵⁰ – (50 1)4⁴⁹.1 + … – (50 49).4.1⁴⁹ + (50 50).1⁵⁰
(4 – 1)⁵⁰ = (50 0).4⁵⁰ – (50 1)4⁴⁹ + … – (50 49).4 + (50 50)
Mas como todos os termos, a não ser o último possuem um fator 4, podemos colocar o 4 em evidência em todos os termos menos no último:
(4 – 1)⁵⁰ = (50 0).4⁵⁰ – (50 1)4⁴⁹ + … – (50 49).4 + (50 50)
(4 – 1)⁵⁰ = 4.[(50 0).4⁴⁹ – (50 1)4⁴⁸ + … – (50 49)] + (50 50)
Agora vamos calcular (50 50), que pela fórmula é:
(n p) = n!/[p!.(n-p)!]
(50 50) = 50!/(50!.0!)
(50 50) = 50!/(50!.1)
(50 50) = 1
E como o que está dentro dos colchetes é a soma e diferença de números inteiros, podemos dizer que essa soma vale K (K é um número inteiro) e escrevemos o seguinte:
(4 – 1)⁵⁰ = 4.[(50 0).4⁴⁹ – (50 1)4⁴⁸ + … – (50 49)] + (50 50)
(4 – 1)⁵⁰ = 4.[(50 0).4⁴⁹ – (50 1)4⁴⁸ + … – (50 49)] + 1
(4 – 1)⁵⁰ = 4.K + 1
3⁵⁰ = 4K + 1
Se dividirmos 4K + 1 por quatro, como 4K é múltiplo de 4, teremos resto 1.
Resposta: 3⁵⁰ dividido por 4 deixa resto 1.