Resolução:
Cada pessoa só mexe nas portas cujos números são múltiplos de seu número. Isso quer dizer que uma porta só será aberta ou fechada se seu número for múltiplo de algum número. Ou seja, ela será aberta e fechada dependendo do número de divisores que ela tem, né? Por exemplo: a porta 6, vai ser aberta pela pessoa 1, depois fechada pela pessoa 2, aberta pela pessoa 3 e finalmente fechada pela pessoa 6. Isso porque 1, 2, 3, e 6 são os divisores de 6.
Agora como queremos saber quais as portas que ficarão abertas, precisamos pensar um pouco sobre isso. Chegaremos à conclusão que uma porta só ficará aberta se o número de divisores de seu número for um número ímpar. Se o número de divisores do número da porta for par, ela ficará fechada, porque a cada dois divisores, ou seja, a cada duas pessoas cujos números são divisores do número da porta, ela será aberta e depois fechada. Veja o 6 por exemplo, ele tem 4 divisores, isso quer dizer que os primeiros dois divisores, representados pelas pessoas 1 e 2, vão abrir e depois fechar a porta. Os outros 2 divisores, 3 e 6 também, um abre e o outro fecha. No caso da porta 4, por exemplo, os divisores são 1, 2 e 4, o número um abre, o 2 fecha e o 4 abre. Então a porta 4 fica aberta porque tem um número ímpar de divisores (3).
Resta-nos saber quais os números que têm um número ímpar de divisores. Mas todos os números tem pelo menos 2 divisores: o 1 e o próprio número. Agora veja o seguinte. Se você pegar um número qualquer, dizer que ele tem um divisor, quer dizer que se pegar este número e dividir pelo divisor, você terá um outro número natural. E por conseqüência o resultado desta divisão também será um divisor deste número. Ex.: 35
7 é um divisor de 35 porque 35/7 = 5, mas então 5 também é divisor de 35 porque 35/5 = 7, sempre vale a recíproca.
Isso quer dizer que para todo divisor de um número, teremos outro divisor, a não ser que o resultado desta divisão dê o mesmo número. Por exemplo: 4. 2 é divisor de 4 porque 4/2 = 2, que é o mesmo número que usamos na divisão. Então neste caso não aparece outro divisor.
O que podemos concluir? Um número terá um número par de divisores a não ser que ele seja um quadrado perfeito. Sempre que pegamos um divisor de um número, na verdade já pegamos dois. Um é o número que pegamos e o outro o resultado da divisão por esse número. Mas quando temos um quadrado perfeito, ao dividirmos pela sua raiz, teremos como resultado a própria raiz.
A não ser que o número seja um quadrado perfeito, ele terá então um número par de divisores porque os divisores se agrupam em pares, veja:
32 = (1.32) ou (2.16) ou (4.8)
Esses 6 números são os divisores de 32, eles estão agrupados aos pares e portanto a porta de número 32 ficará fechada! Outro exemplo:
36 = (1.36) ou (2.18) ou (3.12) ou (4.9) ou (6.6)
Como esse número é um quadrado perfeito, todos seus divisores ficaram agrupados aos pares, mas sua raiz ficou sem par, então ele tem um número ímpar de divisores (9)
Concluímos então que só ficarão abertas as portas cujos números forem quadrados perfeitos!
Eles são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600.