1) Provar que se numa PA am = x (m-ésimo termo), an = y (n-ésimo termo) e ap = z (p-ésimo termo), então verifica-se a relação: (n – p).x + (p – m).y + (m – n).z = 0

Resolução:

Vamos escrever os termos assim:
a_m = a₁ + (m – 1).r
a_n = a₁ + (n – 1).r
a_p = a₁ + (p – 1).r

Ou ainda:
x = a₁ + (m – 1).r      (i)
y = a₁ + (n – 1).r      (ii)
z = a₁ + (p – 1).r      (iii)

Agora fazendo (i) – (ii):
x – y = mr – r – nr + r
x – y = mr – nr
x – y = r.(m – n)      (iv)

E fazendo (iii) – (i):
z – x = pr – r – mr + r
z – x = pr – mr
z – x = r.(p – m)      (v)

E agora dividindo (iv) por (v):

(x – y)/(z – x) = (m – n)/(p – m)

(x – y).(p – m) = (m – n).(z – x)

xp – xm – yp + ym = mz – mx – nz + nx

xp – yp + ym = mz – nz + nx

0 = mz – nz + nx – xp + yp – ym

0 = z.(m – n) + x.(n – p) + y.(p – m)

(n – p).x + (p – m).y + (m – n).z = 0

Como queríamos demonstrar. Olhando assim nem parece tão difícil, mas como é que agente vai adivinhar que tinha que fazer (i) – (ii) e (iii) – (i) e depois dividir um pelo outro??? Tem que gastar muito papel…