2) Os raios OB, OC e OD de três círculos concêntricos a um círculo de raio OA = R são respectivamente os apótemas do hexágono regular, do quadrado e do triângulo equilátero inscritos no círculo de raio OA. Demonstrar que a soma das áreas das 3 coroas circulares é equivalente à soma das áreas dos três círculos interiores ao círculo de raio R.

Resolução:

Esse exercício tem um enunciado muito complicado, mas você pode separá-lo. Ele fala em três polígonos (hexágono, quadrado e triângulo) inscritos numa mesma circunferência e uma circunferência inscrita em cada um deles. Então, para facilitar a resolução, você pode fazer os desenhos separados do mesmo círculo de raio OA = R com cada um dos polígonos inscritos e suas circunferências inscritas.

Assim, fazendo o círculo de raio R e inscrevendo um hexágono, você deve saber que se você dividir esse hexágono em 6 triângulos equiláteros todos eles terão o raio R como medida dos lados. Como o apótema do hexágono é a altura desse triângulo, precisamos saber a altura de um triângulo equilátero de lado R, que sabemos que é dada pela fórmula:

altura = R.raiz(3)/2

Assim, a área do círculo inscrito ao hexágono é:

área circ_hex = pi.[R.raiz(3)/2]²

área circ_hex = pi.R².3/4

Como queremos a área das coroas circulares, temos que tirar essa área da área do círculo de raio R, e teremos:

área I = pi.R² – pi.R².3/4

Agora vamos ao quadrado inscrito. Ao inscrever um quadrado num círculo de raio R, você sabe que a diagonal do quadrado mede duas vezes o raio do círculo. Como a diagonal do quadrado é igual ao lado vezes raiz(2), temos:

l.raiz(2) = 2R

l = 2R/raiz(2), racionalizando,

l = R.raiz(2)

Dividindo o quadrado em quatro triângulos iguais, o apótema do quadrado será a altura de um desses triângulos, que dá exatamente a metade do lado do quadrado (se fizer a figura fica mais claro de entender). Então o raio do círculo inscrito ao quadrado terá metade da medida do lado:

raio = R.raiz(2)/2

Assim, a área do círculo inscrito será:

área circ_quad = pi.[R.raiz(2)/2]²

área circ_quad = pi.R²/2

Como queremos a área das coroas circulares, temos que tirar essa área da área do círculo de raio R, e teremos:

área II = pi.R² – pi.R²/2

E por fim, se inscrevermos um triângulo equilátero à uma circunferência de raio R, sabemos que o centro da circunferência é o encontro das medianas do triângulo também. Assim, você verá que o raio do círculo inscrito ao triângulo é metade do raio do círculo circunscrito ao triângulo, pois o centro da circunferência circunscrita divide a mediana em duas partes proporcioanis a 1 e 2. Então o raio da circunferência inscrita será:

= R/2

Assim, a área do círculo inscrito será:

área circ_tri = pi.[R/2]²

área circ_tri = pi.R²/4

Como queremos a área das coroas circulares, temos que tirar essa área da área do círculo de raio R, e teremos:

área III = pi.R² – pi.R²/4

E o problema pede para provar que a soma dessas áreas é igual à área do círculo interno. Então vamos fazer a soma das áreas das coroas:

= área I + área II + área III

= pi.R² – pi.R².3/4 + pi.R² – pi.R²/2 + pi.R² – pi.R²/4

= 3pi.R² – pi.R².3/4 – pi.R²/2 – pi.R²/4

= 12.pi.R²/4 – pi.R².3/4 – 2.pi.R²/4 – pi.R²/4

= 12.pi.R²/4 – 6.pi.R²/4

= 6.pi.R²/4

= 3.pi.R²/2

Essa é a soma das áreas das coroas. Agora precisamos da soma das áreas dos três círculos interiores ao círculos de raio R. Pois você pode ver que temos 3 círculos de raios:

I) R.raiz(3)/2, cuja área é 3.pi.R²/4

II) R.raiz(2)/2, cuja área é pi.R²/2

III) R/2, cuja área é pi.R²/4

Somando as áreas dos 3 círculos você também obtém 3.pi.R²/2 que era a soma das áreas das coroas circulares.