1) A medida, em graus, do ângulo interno de um polígono regular é um número inteiro. Qual é o número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade?

Resolução:

Primeiro vamos lembrar a fórmula da medida do ângulo interno de um polígono regular:

a_i = (n – 2).180/n

Como queremos que isso seja um número inteiro, vamos mudar um pouco a cara disso para facilitar:

a_i = (n – 2).180/n

a_i = (180n – 360)/n

a_i = 180n/n – 360/n

a_i = 180 – 360/n

Então o valor do ângulo interno é sempre igual a 180° – 360°/n. Para isso ser um número inteiro, como 180 é um número inteiro, temos que 360°/n tem que ser um número inteiro. E isso só acontece se n for um divisor de 360. Então para sabermos quantos são os polígonos que gozam dessa propriedade, temos que saber quantos são os divisores de 360.

Primeiro vamos fatorar 360:

360 | 2

180 | 2

 90 | 2

 45 | 3

 15 | 3

  5 | 5

  1 |

Concluímos que 360 = 2³.3².5

Para saber quantos são os divisores de 360 usaremos a regra que nos dá esse número. Se um número N tem a seguinte decomposição:

N = 2^x . 3^y . 5^z . 7^w . …

Quantos divisores este número terá? Os divisores do número N serão todos os números que pudermos formar multiplicando os fatores primos que compõem N. E cada um só pode aparecer no máximo o número de vezes a que ele está elevado. No nosso exemplo, 2 pode estar elevado a 0, a 1, a 2, a 3, a…., a x. No máximo ele poderá estar elevado a x, 3 só poderá estar elevado a y, e assim sucessivamente. Então os divisores deste número serão todos os números que pudermos formar com esses fatores primos elevados a esses expoentes. No caso de N, para formarmos um divisores, pegaremos o 2 elevado a algum número, multiplicaremos por 3 elevado a outro número, multiplicaremos por 5 elevado a outro número e assim até o último fator primo. Para sabermos escolhermos o expoente de 2 temos (x + 1) opções, pois o 2 pode estar elevado a 0, 1, 2, 3, …x. Para sabermos escolhermos o expoente de 3 temos (y + 1) opções, pois o 3 pode estar elevado a 0, 1, 2, 3, …y. Para sabermos escolhermos o expoente de 5 temos (z + 1) opções, pois o5 pode estar elevado a 0, 1, 2, 3, …z. Então multiplicando todas estas possibilidades, teremos um total de divisores:

Divisores de N = (x + 1).(y + 1).(z + 1).(w + 1). …

Esta é a regra para sabermos o número de divisores de um número. Fazemos o produto dos expoentes somados com 1.

No caso de 360, o número de divisores será:

N = (3 + 1).(2 + 1).(1 + 1)

N = 4.3.2

N = 24 divisores

Só tem um detalhe: nem todos os divisores de 360 nos dão polígonos regulares. Isso porque 1 e 2 são divisores de 360, mas não existem polígonos com menos do que 3 lados. Então, desses 24 divisores de 360, temos que tirar o 1 e o 2, o que nos dá um total de…

Resposta: O número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade é de 22.