Resolução:
Primeiro vamos descobrir qiantas passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono. Só passarão pelo centro da circunferência as diagonais que dividem o polígono exatamente ao meio, deixando cada metade inscrita numa semi-circunferência. Se o polígono tem 2n lados, ele tem 2n vértices e como 2n é um número par, o polígono tem um número par de lados e vértices. Para dividir o polígono ao meio teremos que pegar dois vértices opostos.
Cada vértice só tem um único vértice oposto a ele, o que nos dá 2n diagonais passando pelo centro. Entretanto, nesse caso estamos contando duas vezes cada diagonal, pois se pegarmos todos os vértices, estamos contando, por exemplo, a diagonal AN uma vez pelo vértice A e outra vez pelo vértice N. Então na verdade temos:
“n” diagonais passando pelo centro da circunferência
Mas queremos saber quantas não passam, então temos que tirar as que passam pelo centro, do total de diagonais. Para calcularmos o total, podemos pensar o seguinte. De cada vértice partem 2n – 3 diagonais (só não partem diagonais para os vértices consecutivos, pois são lados do polígono, e nem para o próprio vértice). Como temos um total de 2n vértices teremos:
2n.(2n – 3) = 4n2 – 6n
Mas novamente estamos contando duas vezes cada diagonal porque pegamos todos os vértices e como cada diagonal tem duas pontas, em dois vértices diferentes, contamos o dobro de diagonais. Então temos que dividir o número de diagonais por dois:
(4n2 – 6n)/2
Esse é o total de diagonais. Agora vamos tirar as que passam pelo centro:
= (4n2 – 6n)/2 – n
= (4n2 – 6n – 2n)/2
= (4n2 – 8n)/2
= 4n(n – 2)/2
= 2n(n – 2)
Resposta: Num polígono regular de 2n lados, 2n(n – 2) diagonais não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono.