I) a + d = 32
II) b + c = 24
III) (a, b, c) é PG
IV) (b, c, d) é PA
Resolução:
Temos um sistema para resolver. As equações I e II foram dadas diretamente. E podemos achar mais duas equações a partir de III e IV.
De III:
Como (a, b, c) é PG, se dividirmos um termo pelo seu anterior, obtemos sempre a razão da PG, então:
b / a = c / b
De IV:
Como (b, c, d) é PA, a diferença entre um número e seu anterior é sempre a razão da PA, então:
c – b = d – c
Então nosso sistema é:
a + d = 32 (i)
b + c = 24 (ii)
b / a = c / b (iii)
c – b = d – c (iv)
Vamos colocar tudo em função de c:
De (i):
a = 32 – d (v)
De (ii):
b = 24 – c (vi)
De (iii):
b2 = a . c, substituindo (v),
b2 = (32 – d) . c
b2 = 32c – dc
dc = 32c – b2
d = (32c – b2) / c, substituindo (vi),
d = [32c – (24 – c)2] / c
d = (32c – 576 + 48c – c2) / c
d = (80c – 576 – c2) / c
E substituindo tudo em (iv):
c – b = d – c
c – (24 – c) = [(80c – 576 – c2) / c] – c
c – 24 + c + c = [(80c – 576 – c2) / c]
3c – 24 = [(80c – 576 – c2) / c]
3c2 – 24c = 80c – 576 – c2
4c2 – 104c + 576 = 0, simplificando,
c2 – 26c + 144 = 0
E resolvendo essa equação do 2º grau:
c2 – 26c + 144 = 0
(c – 8).(c – 18) = 0
c = 8 ou c = 18
Agora, para cada valor de c, encontramos os valores de
a, b e d:
c = 8 ou c = 18
b = 24 – c b = 24 – c
b = 24 – 8 b = 24 – 18
b = 16 b = 6
c – b = d – c c – b = d – c
8 – 16 = d – 8 18 – 6 = d – 18
d = 0 d = 30
a = 32 – d a = 32 – d
a = 32 – 0 a = 32 – 30
a = 32 a = 2
Resposta: (a, b, c, d) = (32, 16, 8, 0), ou
(a, b, c, d) = (2, 6, 18, 30)