4) Entre 6 cartas e 6 endereços, pergunta-se:

a) Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao endereço certo?

b) Qual é a probabilidade de somente uma carta chegar ao endereço certo?

c) Qual é a probabilidade de somente três cartas chegarem ao endereço certo? 

d) Qual é a probabilidade de todas as cartas chegarem ao endereço certo? 

e) Qual é a probabilidade de nenhuma carta chegar ao endereço certo?

Resolução:

Para esse exercício, usaremos a fórmula de permutações caóticas:

D_n = n!.[1 – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4! – … +(-1)ⁿ/n!]

a) Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao endereço certo?

É melhor se calcularmos a probabilidade de nenhuma carta chegar ao endereço certo (item “e”) e tirar esse resultado de 1, pois se não acontecer de nenhuma carta chegar ao endereço certo, pelo menos uma delas chegará.

Para calcular de quantas maneiras as cartas não chegam no endereço certo, temos que calcular as permutações caóticas de 6 elementos:

D₆ = 6!.(1 – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5! + 1/6!)

D₆ = 6!.(1/2 – 1/6 + 1/24 – 1/5! + 1/6!)

D₆ = 6!.(9/24 – 1/5! + 1/6!)

D₆ = 6.5.4!.9/4! – 6.5!/5! + 6!/6!

D₆ = 6.5.9 – 6 + 1

D₆ = 265

A probabilidade de que uma dessas permutações caóticas aconteça é esse valor dividido pelo total de permutações possíveis, que é dado por:

P₆ = 6! = 720

Então a probabilidade de nenhuma carta chegar a seu destino correto é:

P = 265/720

P = 53/144

P =~ 0,3681

Mas nós queremos que pelo menos uma chegue no endereço correto, então temos que tirar isso de 1:

P =~ 1 – 0,3681

P =~ 0,6319

P =~ 63,19%

b) Qual é a probabilidade de somente uma carta chegar ao endereço certo?

Para que só uma carta chegue ao destino correto, precisamos escolher uma das 6 cartas para que esta chegue no endereço e depois temos que permutar as outras 5 cartas caoticamente. Para escolher 1 das 6 cartas temos 6 opções. E o número de permutações caóticas de 5 elementos é:

D₅ = 5!.(1 – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4! – 1/5!)

D₅ = 5!.(1/2 – 1/6 + 1/24 – 1/5!)

D₅ = 5!.(9/24 – 1/5!)

D₅ = 5.4!.9/4! – 5!/5!

D₅ = 5.9 – 1

D₅ = 44

E o total de permutações onde 1 carta vai para o endereço certo é o produto dos dois resultados:

= 6 . 44 = 264

A probabilidade de que isso aconteça é esse valor dividido pelo total de permutações possíveis, que já vimos que é 720:

P = 264/720

P = 11/30

P =~ 0,3667

P =~ 36,67%

c) Qual é a probabilidade de somente três cartas chegarem ao endereço certo?

Agora temos que escolher 3 das 6 cartas para chegarem ao endereço certo e depois permutar as outras 3 cartas que sobrarem caoticamente.

Para escolher 3 das 6 cartas, temos que fazer uma combinação de 6 elementos tomados 3 a 3:

C_{6, 3} = 6!/3!.3!

C_{6, 3} = 6.5.4.3!/3!.3.2

C_{6, 3} = 6.5.4/3.2

C_{6, 3} = 5.4

C_{6, 3} = 20

E a permutação caótica de 3 elementos é igual a:

D₃ = 3!.(1 – 1/1! + 1/2! – 1/3!)

D₃ = 3!.(1/2 – 1/6)

D₃ = 6.(1/2 – 1/6)

D₃ = 3 – 1

D₃ = 2

O total de permutações com 3 cartas chegando ao endereço certo será o produto desses dois resultados:

= 2 . 20 = 40

E a probabilidade disso acontecer é esse valor dividido pelo total de permutações possíveis:

P = 40/720

P = 1/18

P =~ 0,0556

P =~ 5,56%

d) Qual é a probabilidade de todas as cartas chegarem ao endereço certo?

Precisamos saber de quantas maneiras todas as cartas podem chegar ao endereço certo. Mas isso só pode acontecer de uma maneira! Então a probabilidade disso acontecer é 1 dividido pelo total de permutações possíveis:

P = 1/720

P =~ 0,0014

P =~ 0,14%

e) Qual é a probabilidade de nenhuma carta chegar ao endereço certo?

Já calculamos isso no item “a”:

P =~ 0,3681