a) Qual a probabilidade de P (X ser par)?
b) Qual a probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5)?
c) Qual a probabilidade de P(X ser divisível por 3)?
Resolução:
Essa questão é muito interessante. Primeiro temos que entender bem o que o enunciado quer dizer. Sabemos que X pode ser qualquer número natural: 1, 2, 3, … E além disso o problema diz que a probabilidade de X assumir um valor qualquer depende desse valor. Veja o que o problema diz:
P(X = j) = 1/2j
Então, se X = 1, temos:
P(X = j) = 1/2j
P(X = 1) = 1/21
P(X = 1) = 1/2
Já se X = 2:
P(X = j) = 1/2j
P(X = 2) = 1/22
P(X = 2) = 1/4
E assim sucessivamente, a probabilidade de X ser algum número será sempre 1/2 elevado a esse número. Repare que isso é perfeito, pois se você fizer a soma de todas as probabilidades, ou seja:
= P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = …)
= 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + …
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Isso é a soma de uma PG de primeiro termo 1/2 e razão 1/2. Como a razão é menor que 1, a soma de todos os termos até o infinito é dada pela fórmula:
S = a1 / (1 – q)
onde, a1 = primeiro termo e q = razão
Então a soma das probabilidades de X dará:
S = a1 / (1 – q)
S = (1/2) / (1 – 1/2)
S = (1/2) / (1/2)
S = 1
Ou seja a soma das probabilidades de todos os valores possíveis de X dá 1, que é o que tem que acontecer sempre para uma função de probabilidade, a soma de todos os casos possíveis tem que dar sempre 1. Então vamos às perguntas:
a) Qual a probabilidade de P (X ser par)?
Vamos somar só as proabilidades de X ser par:
= P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + P(X = 8) + P(X = …)
= (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)6 + (1/2)8 + (1/2)10 …
= 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 …
= 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 + (1/4)4 + (1/4)5 …
E isso é a soma de uma PG de primeiro termo 1/4 e razão 1/4. Como a razão é menor que 1, podemos usar novamente a fórmula:
S = a1 / (1 – q)
Então a soma das probabilidades de X, para X ser par será:
S = a1 / (1 – q)
S = (1/4) / (1 – 1/4)
S = (1/4) / (3/4)
S = (1/4) . (4/3)
S = 1/3
Resposta: A probabilidade de P (X ser par) é de 1/3.
b) Qual a probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5)?
Vamos calcular a soma das probabilidades para X >= 5:
= P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = …)
= (1/2)5 + (1/2)6 + (1/2)7 + (1/2)8 + …
E isso é a soma de uma PG de primeiro termo (1/2)5 e razão 1/2. Como a razão é menor que 1, podemos usar novamente a fórmula:
S = a1 / (1 – q)
Então a soma das probabilidades de X, para X ser maior ou igual a 5 será:
S = a1 / (1 – q)
S = (1/2)5 / (1 – 1/2)
S = (1/32) / (1/2)
S = (1/32) . (2/1)
S = 1/16
Resposta: A probabilidade de P(X ser maior ou igual a 5) é de 1/16.
c) Qual a probabilidade de P(X ser divisível por 3)?
Os valores de X que são divisíveis por 3 são: 3, 6, 9, 12, 15, … que são os múltiplos de 3. Então vamos calcular a soma das probabilidades desses números:
= P(X = 3) + P(X = 6) + P(X = 9) + P(X = 12) + …
= (1/2)3 + (1/2)6 + (1/2)9 + (1/2)12 + …
E isso é a soma de uma PG de primeiro termo (1/2)3 e razão (1/2)3. Como a razão é menor que 1 [(1/2)3 = 1/8], podemos usar novamente a fórmula:
S = a1 / (1 – q)
Então a soma das probabilidades de X, para X ser divisível por 3 será:
S = a1 / (1 – q)
S = (1/2)3 / [1 – (1/2)3]
S = (1/8) / (1 – 1/8)
S = (1/8) / (7/8)
S = (1/8) . (8/7)
S = 1/7
Resposta: A probabilidade de P(X ser divisível por 3) é de 1/7.