3) Considere três urnas. A primeira contém três bolas brancas e duas vermelhas; a segunda duas bolas brancas e três vermelhas e a terceira quatro brancas e uma vermelha. Retira-se, ao acaso uma bola da primeira urna e introduz-se na segunda, retirando-se em seguida uma bola da segunda que se vai colocar na terceira urna. Por fim, retira-se uma bola da terceira urna, que se vai introduzir na primeira.

Qual é a probabilidade de que as três urnas fiquem com a composição inicial de bolas brancas e vermelhas? (isto é, mesmo que entre elas troquem a composição, por exemplo a primeira ficar com quatro brancas e uma vermelha e a terceira com três brancas e duas vermelhas).

Resolução:

Se vamos tirar uma bola de uma urna, só pode acontecer duas coisas, ou sai uma bola branca ou uma bola vermelha. Então, primeiro vamos ver todas as possibilidades que temos de retiradas considerando as 3 retiradas que faremos, porque não é muita coisa e aí vamos ver quais deixam as urnas com a mesma composição. Na tabela abaixo coloco a cor da bola que sai da referida urna, onde B é branca e V é vermelha:

1ª   2ª   3ª

B    B    B

V    V    V

B    B    V

B    V    B

V    B    B

B    V    V

V    B    V

V    V    B

Os dois primeiros casos são óbvios que a composição das urnas permanece a mesma porque você só vai tirar e colocar sempre a mesma cor. Agora precisamos ver nas outras 6 maneiras se há alguma que as composições não se alteram. Para isso não tem jeito, tem que fazer uma por uma e ver no que dá.

B    B    V

1ª urna fica com 2B3V

2ª urna fica com 2B3V

3ª urna fica com 5B0V

Não serve!

B    V    B

1ª urna fica com 3B2V

2ª urna fica com 3B2V

3ª urna fica com 3B2V

Não serve!

V    B    B

1ª urna fica com 4B1V

2ª urna fica com 1B4V

3ª urna fica com 4B1V

Não serve!

B    V    V

1ª urna fica com 2B3V

2ª urna fica com 3B2V

3ª urna fica com 4B1V

Opa! Aqui mudou a ordem das duas primeiras urnas, mas a composição é a mesma de acordo com o enunciado!

V    B    V

1ª urna fica com 3B2V

2ª urna fica com 1B4V

3ª urna fica com 5B0V

Não serve!

V    V    B

1ª urna fica com 4B1V

2ª urna fica com 2B3V

3ª urna fica com 3B2V

Opa! Aqui mudou a ordem da primeira com a última urna, mas a composição é a mesma de acordo com o enunciado!

Então temos 4 eventos que nos favorecem:

BBB, VVV, BVV e VVB

Agora precisamos calcular a probabilidade de cada um e somar todas.

BBB:

Para tirar uma bola branca da primeira urna, temos 3 brancas em 5 bolas (3/5). Depois colocamos a branca na segunda e agora temos que tirar outra branca, mas temos 3 brancas em 6 bolas (3/6) e por fim, depois de colocar uma branca na terceira urna, temos que tirar outra branca, mas temos 5 brancas em 6 bolas (5/6). Então a probabilidade das 3 coisas acontecerem é:

= (3/5).(3/6).(5/6)

= 45/180

VVV:

Para tirar uma bola vermelha da primeira urna, temos 2 vermelhas em 5 bolas (2/5). Depois colocamos a vermelha na segunda e agora temos que tirar outra vermelha, mas temos 4 vermelhas em 6 bolas (4/6) e por fim, depois de colocar uma vermelha na terceira urna, temos que tirar outra vermelha, mas temos 2 vermelhas em 6 bolas (2/6). Então a probabilidade das 3 coisas acontecerem é:

= (2/5).(4/6).(2/6)

= 16/180

BVV:

Para tirar uma bola branca da primeira urna, temos 3 brancas em 5 bolas (3/5). Depois colocamos a branca na segunda e agora temos que tirar uma vermelha, mas temos 3 vermelhas em 6 bolas (3/6) e por fim, depois de colocar uma vermelha na terceira urna, temos que tirar outra vermelha, mas temos 2 vermelhas em 6 bolas (2/6). Então a probabilidade das 3 coisas acontecerem é:

= (3/5).(3/6).(2/6)

= 18/180

VVB:

Para tirar uma bola vermelha da primeira urna, temos 2 vermelhas em 5 bolas (2/5). Depois colocamos a vermelha na segunda e agora temos que tirar outra vermelha, mas temos 4 vermelhas em 6 bolas (4/6) e por fim, depois de colocar uma vermelha na terceira urna, temos que tirar uma branca, mas temos 4 brancas em 6 bolas (4/6). Então a probabilidade das 3 coisas acontecerem é:

= (2/5).(4/6).(4/6)

= 32/180

E agora vamos somar todas as probabilidades:

p = 45/180 + 16/180 + 18/180 + 32/180

p = 111/180

p = 37/60

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