Resolução:
Essa pergunta é realmente difícil. Para ajudar a compreender melhor, você poderia fazer o diagrama dos três conjuntos e ir acompanhando o desenvolvimento. Assim a visualização dos resultados matemáticos fica mais acessível.
Para resolvê-la você tem que saber que o número de elementos na união de três conjuntos que se interceptam mutuamente é:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – [n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C)] + n(A ∩ B ∩ C)
n(A U B U C) = nº de elementos da união de A, B e C
n(A) = nº de elementos de A
n(B) = nº de elementos de B
n(C) = nº de elementos de C
n(A ∩ B) = nº de elementos de A intersecção com B
n(A ∩ C) = nº de elementos de A intersecção com C
n(B ∩ C) = nº de elementos de B intersecção com C
n(A ∩ B ∩ C) = nº de elementos da intersecção de A, B e C
Então, vamos ver o que o problema nos deu. Sendo A = pacientes com esquizofrenia, B = pacientes com paranóia e C = pacientes maníacos:
n(A U B U C) = 100
n(A) = 74
n(B) = 17
n(C) = 25
n(A ∩ B ∩ C) = 4
Com a fórmula que temos, podemos descobrir a soma das intersecções dos 3 conjuntos 2 a 2:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – [n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C)] + n(A ∩ B ∩ C)
100 = 74 + 17 + 25 – [n(A ∩ B)+ n(A ∩ C)+ n(B ∩ C)] + 4
n(A ∩ B)+ n(A ∩ C)+ n(B ∩ C) = 20
Como o problema pede o número de pacientes que tem exatamente duas enfermidades, se somarmos as 3 intersecções acima, estaremos somando 3 vezes a intersecção dos três conjuntos. Isso você pode ver melhor se fizer um diagrama, mas pense que na intersecção de A e B também aparecem aqueles pacientes que tem as 3 enfermidades.
Então se somarmos as três intersecções dos 3 conjuntos tomados dois a dois, vamos precisar tirar os pacientes que aparecem simultaneamente nos 3 conjuntos. Como eles aparecem nas três intersecções, vamos ter que tirar esse nº 3 vezes! Pois temos que contar apenas os pacientes que tem exatamente 2 enfermidades.
Digamos que o número que estamos procurando é X:
X = n(A ∩ B)+ n(A ∩ C)+ n(B ∩ C) – 3.n(A ∩ B ∩ C)
X = 20 – 3.4
X = 20 – 12
X = 8