I) 5 pertence a A e 6 pertence a A;
II) Se x pertence a A, então x + 5 pertence a A e x + 6 pertence a A.
Pergunta-se:
a) Quais dos números 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 estão em A?
b) O número 100 está em A?
c) Qual o menor inteiro positivo n tal que A contém todos os números de n em diante?
Resolução:
a) Usando a definição do conjunto A, vemos que fazendo x = 5 e depois x = 6, encontramos mais 3 elementos:
Se x pertence a A então x + 5 pertence a A e x + 6 pertence a A.
Se 5 pertence a A então 5 + 5 pertence a A e 5 + 6 pertence a A.
Se 5 pertence a A então 10 pertence a A e 11 pertence a A.
Se x pertence a A então x + 5 pertence a A e x + 6 pertence a A.
Se 6 pertence a A então 6 + 5 pertence a A e 6 + 6 pertence a A.
Se 6 pertence a A então 11 pertence a A e 12 pertence a A.
Então, além de 5 e 6, temos também 10, 11 e 12 em A. E agora podemos fazer a mesma coisa com estes 3 novos elementos, achando outros 4 elementos de A:
Se 10 pertence a A então 15 pertence a A e 16 pertence a A.
Se 11 pertence a A então 16 pertence a A e 17 pertence a A.
Se 12 pertence a A então 17 pertence a A e 18 pertence a A.
Continuando com os 4 elementos que acabamos de achar 15, 16, 17 e 18:
Se 15 pertence a A então 20 pertence a A e 21 pertence a A.
Se 16 pertence a A então 21 pertence a A e 22 pertence a A.
Se 17 pertence a A então 22 pertence a A e 23 pertence a A.
Se 18 pertence a A então 23 pertence a A e 24 pertence a A.
Então já vimos que pertencem a A os elementos:
5, 6, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23 e 24.
Resposta: Estão em A: 10, 11, 15, 16, 17 e 18.
b) Pela definição do conjunto A, sabemos que se um número está em A, este número mais 5 também está. E como o número 5 pertence a A, sabemos que pertencerão a A todos os elementos de uma PA de primeiro termo 5 e razão 5, porque se formos somando 5 sempre encontraremos elementos de A:
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
Todos os números terminados em 0 ou em 5 pertencem a A, então 100 pertence a A.
Resposta: Sim, 100 está em A.
c) No item a) vimos que pertencem a A os números 20, 21, 22, 23 e 24. E como se formos somando 5 a cada um desses elementos o resultado também estará em A, veja que se tivermos 5 PA´s cujas razões são todas iguais a 5 e os primeiros termos forem esses 5 números consecutivos, abrangeremos todos os números naturais:
20, 25, 30, 35, 40 …
21, 26, 31, 36, 41 …
22, 27, 32, 37, 42 …
23, 28, 33, 38, 43 …
24, 29, 34, 39, 44 …
Bastava que tivéssemos 5 números seguidos para serem os primeiros termos. E como 19 não pertence a A, o menor número que pertence a A tal que depois dele todos também pertencem é o 20.
Resposta: O menor inteiro positivo é o 20.