5) Considere 2 conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, classifique em verdadeiro ou falso e justifique cada uma das seguintes afirmações:

(   ) A ∩ B terá no mínimo 12 elementos.
(   ) A U B terá no mínimo 15 elementos.
(   ) O número máximo de elementos de A U B é igual ao número máximo de elementos de A ∩ B.
(   ) o número mínimo de elementos de A U B é igual ao número máximo de elementos de A ∩ B.

Resolução:

Vamos analisar uma sentença por vez:

( F ) A ∩ B, terá no mínimo 12 elementos.

Essa é falsa porque pode ser que os dois conjuntos nem sequer tenham intersecção, o que no caso daria uma intersecção vazia. Ou podem ter apenas um elemento em comum, ou no máximo 12!

( V ) A U B terá, no mínimo, 15 elementos.

Essa é verdadeira, pois não podemos ter na união dos dois conjuntos menos elementos do que o maior dos conjuntos. Imagine que você tivesse 14 elementos na união dos dois conjuntos, isso quer dizer que se você pegar todo mundo que esteja em A e todo mundo que esteja em B somam 14 elementos, mas só B já tem 15 elementos! Isso não pode acontecer. O que pode acontecer é que A esteja contido em B, e nesse caso a união dará o conjunto B, que tem 15 elementos, essa é a situação que temos o mínimo.

( F ) o número máximo de elementos de A U B é igual ao número máximo de elementos de A ∩ B.

Essa também é falsa porque o  número máximo de elementos de A U B acontece quando todos os elementos de A são diferentes dos elementos de B, aí a união é a soma dos elementos de A com os de B, o que daria um total de:

12 + 15 = 27 elementos

Já a intersecção não pode ter mais elementos do que o menor dos conjuntos. Suponha que haja 13 elementos na intersecção de A e B, os elementos da intersecção têm que ser elementos de A e de B, ou seja, os 13 elementos pertencem tanto a A como a B, mas como é que os 13 elementos podem pertencer a A se A só tem 12 elementos? A intersecção tem no máximo 12 elementos.

27 é diferente de 12!

( F ) o  número mínimo de elementos de A U B é igual ao número máximo de elementos de A ∩ B.

Como já vimos na segunda sentença, o  número mínimo de elementos de A U B é de 15 elementos. E como vimos na terceira sentença, o número máximo de elementos de A ∩ B é de 12 elementos. Como 12 é diferente de 15 a afirmação é falsa também.

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *