4) Em uma circunferência de raio 5cm, como faço para construir uma corda de 9cm que passe por um ponto P distante 3cm do centro da circunferência.

Resolução:

Na figura temos uma circunferência de centro O e raio 5cm. Pegamos um ponto P qualquer interno à circunferência, tal que OP = 3cm. Queremos então traçar uma corda AB que tenha 9cm de comprimento, passando por P. 

Para isso, vejamos que se a corda AB tem 9cm de comprimento, ao traçarmos o segmento que vai do centro da circunferência ao ponto médio da corda (na figura é OM), ele será perpendicular à AB. Assim teremos um triângulo retângulo AOM, de lados 4,5cm (metade da corda), 5cm (raio da circ.) que é a hipotenusa e podemos descobrir a distância OM:

OM² + AM² = AO²

OM² + 4,5² = 5²

OM² = 5² – 4,5²

OM² = 25 – 20,25

OM² = 4,75

OM = raiz(4,75)

OM =~ 2,18

Mas o triângulo OMP também é retângulo, com a hipotenusa medindo 3cm (OP). Então podemos agora encontrar o lado MP:

OM² + MP² = OP²

4,75 + MP² = 3²

MP² = 3² – 4,75

MP² = 9 – 4,75

MP² = 4,25

Então podemos achar o ângulo MOP:

tan MOP = MP/MO

tan² MOP = MP²/MO²

tan² MOP = 4,25/4,75

tan² MOP = 425/475

tan² MOP = 17/19

tan² MOP =~ 0,8947

tan MOP =~ raiz(0,8947)

tan MOP =~ 0,9459

Então temos que achar o ângulo cuja tangente é 0,946, com o auxílio de uma calculadora:

arctan 0,946 = 43,4°

arctan 0,946 = 43° 24′ 27″

Agora que temos o ângulo MOP e a distância OM, podemos construir a corda AB da seguinte maneira:

1) a partir de OP, construa uma reta OM que tenha um ângulo de 43° 24′ 27″ com OP.

2) Na reta OM, marque o ponto M cuja distância até O seja 2,18.

3) Trace a reta MP, encontrando as extremidades da corda AB nos pontos que essa reta cruza a circunferência.