(QA)2 + (QB)2 + (QC)2 = (PD)2 + (PE)2 + (PF)2
Resolução:
A única solução que consegui (e não fui eu quem resolveu) é bem complicada. Envolve conceitos de números complexos. É bom lembrar que o número “e” é o número neperiano, base dos logaritmos naturais.
Sejam R1 e R2 os raios de C’ e C”, respectivamente.
Teremos:
A = R1
B = R1.ei.2pi/3
C = R1.e-i.2pi/3
D = R2.eia
E = R2.ei.(a + 2pi/3)
F = R2.ei.(a – 2pi/3)
P = R1.eix
Q = R2.eiy
onde a, x e y são números reais arbitrários.
Vamos, agora, usar os seguintes dois lemas:
1) Sejam os números complexos R1.eiu e R2.eiv.
Então:
|R1.eiu – R2.eiv|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.cos(u – v)
Demonstração:
Expandir o lado esquerdo e usar que:
cos(u – v) = (cos u).(cos v) + (sen u).(sen v)
2) Para todo x real:
cos x + cos (x – 2pi/3) + cos (x + 2pi/3) = 0
Demonstração:
Sabemos que 1 + ei.2pi/3 + e-i.2pi/3 = 0
(soma das 3 raízes cúbicas da unidade)
Multiplicando por eix, teremos:
eix + ei.(x + 2pi/3) + ei.(x – 2pi/3) = 0
Tomando a parte real, obtemos o resultado.
Usando o Lema 1, teremos:
|Q – A|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.(cos y)
|Q – B|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.cos(y – 2pi/3)
|Q – C|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.cos(y + 2pi/3)
Somando estas 3 equações e usando o Lema 2 nos termos em R1.R2, vem:
|Q – A|2 + |Q – B|2 + |Q – C|2 = 3.(R12 + R2²)
Analogamente, via Lema 1, teremos:
|P – D|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.cos(x – a)
|P – E|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.cos(x – a – 2pi/3)
|P – F|2 = R12 + R22 – 2.R1.R2.cos(x – a + 2pi/3)
E, portanto:
|P – D|2 + |P – E|2 + |P – F|2 = 3.(R12 + R22)
Logo, vale a igualdade:
|Q – A|2 + |Q – B|2 + |Q – C|2 = |P – D|2 + |P – E|2 + |P – F|2
Que é o mesmo que:
(QA)2 + (QB)2 + (QC)2 = (PD)2 + (PE)2 + (PF)2