3) AB e CD são 2 cordas iguais de uma circunferência que não se cortam, M e N são os pontos médios dessas cordas. A reta MN intercepta a circunferência nos pontos P e Q. Demonstre que MP=NQ.

Resolução:

2 cordas iguais

Na figura tracei duas cordas AB e CD de mesmo comprimento, com seus respectivos pontos médios M e N. Traçando a reta MN obtemos os pontos P e Q na circunferência O. 

Como AB = CD, se você traçar perpendiculares a essas cordas, pelos pontos médios M e N, essas perpendiculares passam pelo centro O da circunferência (são as retas OM e ON) e as distâncias OM e ON têm que ser iguais. O que faz com que o triângulo OMN seja isósceles.

Você sabe que PQ é também uma corda da circunferência. Ao traçarmos uma perpendicular a PQ pelo seu ponto médio, essa perpendicular (OH) passa pelo centro O. Mas OH é então a altura do triângulo OMN, que é isósceles e assim é também a mediana do triângulo. Concluímos que H é ponto médio de MN.

Como H é ponto médio de PQ também, temos:

MH = HN

PH = HQ

PM + MH = HN + NQ

Podemos concluir que:

PM + MH = HN + NQ

PM + MH = MH + NQ

PM + MH – MH = NQ

PM = NQ

Como queríamos demonstrar

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