1) Duas circunferências de raios R e r cortam-se sob um ângulo de 120º. Traça-se a tangente comum externa AB (A e B pontos de contato). Determine o raio da circunferência que é tangente às duas primeiras e tangente à reta AB.

Resolução:

circunferências cortam-se sob ângulo de 120º

De acordo com a figura acima, a circunferência de centro O tem raio R, a circunferência de centro o (minúsculo) tem raio r e a circunferência tangente às outras duas e à reta AB tem centro X e raio x. O ponto D é um dos pontos de intersecção entre as duas circunferências de centros O e o. Além disso C0 // AB (parelalelos).

Basicamente usaremos o fato de que os segmentos MN e Co são congruentes. Para calcularmos Co precisamos da medida de Oo, que podemos achar usando a lei dos cossenos no triângulo ODo:

Oo2 = OD2 + Do2 – 2.OD.Do.(cos 120°)

Oo2 = R2 + r2 – 2.R.r.(-1/2)

Oo2 = R2 + r2 + Rr

Podemos agora calcular o tamanho de Co através do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OCo:

OC2 + Co2 = Oo2

(R – r)2 + Co2 = R2 + r2 + Rr

Co = raiz(3Rr)

Agora podemos achar o comprimento dos segmentos MX e XN pelo teorema de Pitágoras nos triângulos OMX e oNX respectivamente:

– No OMX

OM2 + MX2 = OX2

(R – x)2 + MX2 = (R + x)2

MX = 2.raiz(Rx)

– No oNX

oN2 + XN2 = oX2

(r – x)2 + XN2 = (r + x)2

XN = 2.raiz(rx)

E agora como MX + XN = MN:

MN = Co

MX + XN = Do

2.raiz(Rx) + 2.raiz(rx) = raiz(3Rr)

2.raiz(x).[raiz(R) + raiz(r)] = raiz(3Rr)

raiz(x) = raiz(3Rr)/{2.[raiz(R) + raiz(r)]}

x = 3Rr/{4.[R + 2.raiz(Rr) + r]}

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