2) Duas circunferências de raio R e r são tangentes externamente em A. Traça-se a tangente comum externa BC (B e C pontos de contato). Calcular o raio da circunferência inscrita no triângulo mistilíneo ABC.

Resolução:

Pela figura, a circunferência de entro O tem raio R, a circunferência de centro o (minúsculo) tem raio r e a circunferência inscrita no triângulo mistilíneo ABC tem centro X e raio x.

Basicamente usaremos o fato de que os segmentos MN e Do são congruentes. Podemos calcular o tamanho de Do através do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ODo:

OD² + Do² = Oo²

(R – r)² + Do² = (R + r)²

Do = 2.raiz(Rr)

Agora podemos achar o comprimento dos segmentos MX e XN pelo teorema de Pitágoras nos triângulos OMX e oNX respectivamente:

– No OMX

OM² + MX² = OX²

(R – x)² + MX² = (R + x)²

MX = 2.raiz(Rx)

– No oNX

oN² + XN² = oX²

(r – x)² + XN² = (r + x)²

XN = 2.raiz(rx)

E agora como MX + XN = MN:

MN = Do

MX + XN = Do

2.raiz(Rx) + 2.raiz(rx) = 2.raiz(Rr)

raiz(Rx) + raiz(rx) = raiz(Rr)

raiz(x).[raiz(R) + raiz(r)] = raiz(Rr)

raiz(x) = raiz(Rr)/[raiz(R) + raiz(r)]

x = Rr/[R + 2.raiz(Rr) + r]