1) Considere uma progressão geométrica, que o primeiro termo é “a”, a > 1, a razão é q, q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se:

log_ab = 4, log_qb = 2, log_cb = 0,01
Quantos termos tem essa progressão geométrica?

Resolução:

Temos o seguinte:

I – primeiro termo = a

II – razão = q > 1

III – produto dos termos = c

IV – log_ab = 4

V – log_qb = 2

VI – log_cb = 0,01

Sabe-se que a fórmula do produto Pn dos “n” primeiros termos de uma PG é:

(Pn)² = (A1 . An)ⁿ

onde A1 é o 1º termo e An é o enésimo termo.

Então, de III temos:

c² = (A1 . An)ⁿ

c² = (a . An)ⁿ

O termo geral da PG é An = A1 . qⁿ, que no nosso caso pode ser escrito:

An = a.q^n-1

E daí, substituindo An na fórmula de c²:

c² = (a . An)ⁿ

c² = (a . a . qⁿ)ⁿ

c² = (a² . q^n-1)ⁿ

Mas, de IV, temos que: a⁴ = b

De V, temos que: q² = b

O que nos leva a concluir que a⁴ = q² -> a² = q (lembre que q > 1)

Substituindo na fórmula de c²:

c² = (a² . q^n-1)ⁿ

c² = [a² . (a²)^n-1]ⁿ

c² = (a² . a^2n-2)ⁿ

c² = (a^2n-2+2)ⁿ

c² = (a²ⁿ)ⁿ

c² = a^2n²

E podemos achar c a partir de VI: c^0,01 = b

E como já vimos que b = a⁴:

c^0,01 = a⁴, elevando tudo a 100,

c = a⁴⁰⁰

Substituindo na fórmula de c²:

c² = a^2n²

(a⁴⁰⁰)² = a^2n²

a⁸⁰⁰ = a^2n²

Então, para isso ser verdadeiro, teremos que ter obrigatoriamente:

800 = 2n²

800 / 2 = n²

400 = n²

n = 20