1) Determine o ponto C de modo que prolongando-se o segmento de extremos A(2,4) e B(4,7) no sentido de A para B obtem-se AC = 3AB.

Resolução:

Se o ponto C está no prolongamento de AB, ele está sobre a reta determinada por A e B. Vamos achar sua equação através da equação geral da reta que passa por dois pontos:
y – y₁ = [(y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)].(x – x₁)
y – 4 = [(7 – 4)/(4 – 2)].(x – 2)
y – 4 = (3/2).(x – 2)
y – 4 = 3x/2 – 3
y = 3x/2 + 1

Agora podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para encontrar as coordenadas de C, pois como C está sobre essa reta AB, podemos escrever sua ordenada em função da abcissa:
C(x, 3x/2 + 1)

E a fórmula da distância entre dois pontos é:
D = raiz[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

E podemos achar assim:
AC = 3AB
raiz[(x – 2)² + (3x/2 + 1 – 4)²] = 3AB
raiz[(x – 2)² + (3x/2 – 3)²] = 3AB
raiz[(x – 2)² + (3x/2 – 3)²] = 3.raiz[(4 – 2)² + (7 – 4)²]
raiz[(x – 2)² + (3x/2 – 3)²] = 3.raiz(2² + 3²)
raiz(x² – 4x + 4 + 9x²/4 – 9x + 9) = 3.raiz(4 + 9)
raiz(13x²/4 – 13x + 13) = 3.raiz(13)

Elevando os dois membros ao quadrado:
raiz(13x²/4 – 13x + 13) = 3.raiz(13)
13x²/4 – 13x + 13 = 9.13
13x²/4 – 13x + 13 = 117
13x²/4 – 13x + 13 – 117 = 0
13x²/4 – 13x – 104 = 0, tira o mínimo,
13x²/4 – 52x/4 – 416/4 = 0
13x² – 52x – 416 = 0, divide por 13,
x² – 4x – 32 = 0, resolvendo a equação,
(x – 8).(x + 4) = 0
x = 8 ou x = -4

Como C está em AB no sentio de A para B, sua abcissa tem que ser positiva, então:
x = 8

= C(x, 3x/2 + 1)
= C(8, 3.8/2 + 1)
= C(8, 13)