4) x² + y² – 4x – 6y + kxy = m é a equação de uma circunferência de raio 3. Então quanto vale k + 2m?

Resolução:

Como essa é a equação de uma circunferência de raio 3, vamos tornar essa equação mais parecida com a equação de uma circunferência, que é sempre do tipo (x – a)² + (y – b)² = R²:
x² + y² – 4x – 6y + kxy = m

A primeira coisa que vemos é que há um termos kxy que não podemos admitir. Numa equação de circunferência, nunca teremos um termo com as variáveis xy untas, então para que isso seja a equação de uma circunferência, teremos que ter:
k = 0, pois assim xy sumirá!

Então já achamos o valor de k, agora vamos continuar:
x² + y² – 4x – 6y + kxy = m
x² + y² – 4x – 6y + 0.xy = m
x² + y² – 4x – 6y = m
x² – 4x + y² – 6y = m, completando os trinômios,
(x² – 4x + 4) – 4 + (y² – 6y + 9) – 9 = m
(x – 2)² – 4 + (y – 3)² – 9 = m
(x – 2)² + (y – 3)² = m + 4 + 9
(x – 2)² + (y – 3)² = m + 13

Como a circunferência tem raio 3, temos que o termo do lado direito da
euqação, que é sempre o raio ao quadrado, será:
R² = 3²
R² = 9

Como temos m + 13 do lado direito da equação, temos:
m + 13 = R²
m + 13 = 9
m = 9 – 13
m = -4

Agora o problema pediu k + 2m:
= k + 2m
= 0 + 2.(-4)
= 0 – 8
= -8