3) ABCD é um losango no qual A = 120°. Pelo vértice A traçam-se as perpendiculares AM e AN aos lados BC e CD, e pelo vértice C traçam-se as perpendiculares CP e CQ aos lados AB e AD. Demonstrar que o polígono APMCNQ é um hexágono regular.

Resolução:

Se fizer um desenho fica bem mais fácil de acompanhar a resolução. Ao desenhar o losango ABCD com os segmentos AN, AM, CP e CQ, você pode ver que AQ = AP e CN = CM, pois o losango é todo simétrico. Além disso QN = PM, pois tudo o que acontece do lado esquerdo do losango, acontece também na metade direita.

Agora veja que como A = 120º, temos B = D = 60º e C = 120º. Então no triângulo DQN, podemos ver que DN = DQ pela simetria do losango e das retas perpendiculares traçadas. Assim, DQN é isósceles e como D = 60º, esse triângulo é na verdade equilátero e todos seus ângulos valem 60º.

Com isso, como AND = 90º e DNQ = 60º:

QNA = AND – DNQ

QNA = 30º

E como o triângulo ADN é retângulo com D = 60º, o ângulo DAN = 30º. Assim o triângulo QNA é isósceles e QA = QN. E tudo pode ser feito da mesma maneira para o triângulo QNC que também é isósceles e QN = CN.

Daí podemos concluir que o hexágono APMCNQ é regular porque já temos:

AQ = AP   (i)

CN = CM   (ii)

QN = PM   (iii)

QA = QN   (iv)

QN = CN   (v)

Juntando i e iv temos:

AQ = AP = QN

Juntando ii e v:

CN = CM = QN

Juntando essas últimas:

AQ = AP = QN = CN = CM

E juntando isso com iii:

AQ = AP = QN = PM = CN = CM