Resolução:
Quando escrevemos um número numa base “b”, para escrevermos esse número na base decimal, temos que ir multiplicando cada algarismo por uma potência de “b”, assim, se tivermos 103 na base b = 4, na base decimal este número será:
= 1.4² + 0.4¹ + 3.4^0
= 1.16 + 0.4 + 3.1
= 16 + 0 + 3
= 19
Então, na base “b”, o número M = 14641 é escrito assim:
M = 1.b^4 + 4.b³ + 6.b² + 4.b + 1
M = b^4 + 4b³ + 6b² + 4b + 1
Mas isso, se você lembrar, é o desenvolvimento de (b + 1)^4:
M = b^4 + 4b³ + 6b² + 4b + 1
M = (b + 1)^4
M = [(b + 1)²]²
Que é um quadrado perfeito, pois é o quadrado de (b + 1)² (isso na base decimal). Para representarmos raiz(M) na base (b + 1), temos que escrevê-la em função das potências de (b + 1), então:
M = (b + 1)^4
raiz(M) = raiz[(b + 1)^4]
raiz(M) = (b + 1)²
Achando a raiz de M falta escrevê-la como soma de potências de (b + 1):
raiz(M) = (b + 1)²
raiz(M) = 1.(b + 1)² + 0.(b + 1)¹ + 0.(b + 1)^0
Então, na base (b + 1), escrevemos raiz(M) pegando os coeficientes das potências de (b + 1), que são nessa ordem: 1, 0 e 0.
Resposta: raiz(M) = 100 (base b+1)
Para você compreender melhor, experimente fazer b = 3 e escreva M na base 3:
M = b^4 + 4b³ + 6b² + 4b + 1
M = 3^4 + 4.3³ + 6.3² + 4.3 + 1
M = 256
M = 16² (quadrado perfeito)
raiz(M) = 16
Na base (b + 1) = 3 + 1 = 4
raiz(M) = 16
raiz(M) = 1.4² + 0.4¹ + 0.4^0
raiz(M) = 100 (base 4)