3) O Abdel ficou famoso. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. Um historiador afirma que todos os filhos de Abdel eram gêmeos duplos exceto 39, todos eram gêmeos triplos, exceto 39, todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. Qual o número de filhos de Abdel?

a) 75 b) 48 c) 51 d) 78 e) 111

Resolução:

Digamos que haviam “x” gêmeos duplos, “y” trigêmeos e “z” gêmeos quádruplos. E digamos que o total de filhos era T. Pelo problema:

“todos os filhos de Abdel eram gêmeos duplos exceto 39”, ou seja:

x = T – 39

“todos eram gêmeos triplos, exceto 39”, ou seja:

y = T – 39

“todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39”, ou seja:

z = T – 39

Daí concluímos que x = y = z. E como x é um múltiplo de 2 (é o número de gêmeos duplos), y é um múmltiplo de 3 (é o número de gêmeos triplos) e z é múltiplo de 4 (é o número de gêmeos quádruplos), x tem que ser um número múltiplo de 2, múltiplo de 3 e múltiplo de 4 ao mesmo tempo, assim como y e z, que são iguais a x. Então vamos encontrar os números que são múltiplos de 2, 3 e 4 ao mesmo tempo.

O menor deles é o MMC(2, 3, 4) = 12. Então, todos os múltiplos de 12 são múltiplos de 2, 3 e 4. São eles: 12, 24, 36, …

Agora, sabemos que o total de filhos é a soma de x + y + z mais os filhos que não são gêmeos, que vou chamar de “n”. Como x = y = z, e x = T – 39, podemos escrever isso:

x = T – 39

x = (x + y + z + n) – 39

x = (x + x + x + n) – 39

x = 3x + n – 39

39 – n = 3x – x

39 – n = 2x

Como x tem que ser um múltiplo de 12, digamos que ele seja 12. Vamos ver qual o valor de n nessa equação:

39 – n = 2x

39 – n = 2.12

39 – n = 24

39 – 24 = n

n = 15

Agora vamos ao próximo múltiplo de 12, que é 24 e vamos ver o valor de n:

39 – n = 2x

39 – n = 2.24

39 – n = 48

39 – 48 = n

-9 = n

Mas n tem que ser um número inteiro positivo pois é o número de filhos que não são gêmeos! Então, como para qualquer valor maior que 12 para x, não encontraremos um valor de n positivo, a única resposta é se x for igual a 12 e nesse caso, como já calculamos, n = 15. Então, na resposta teremos:

x = y = z = 12

n = 15

O total de filhos é:

T = x + y + z + n

T = 12 + 12 + 12 + 15

T = 51

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