1) Considerem-se cinco esferas com 10 cm de raio. Dispõem-se quatro destas esferas sobre uma mesa horizontal de forma que os seus centros formem um quadrado com 20 cm de lado e coloca-se sobre elas a quinta esfera de modo que toque as outras quatro. Qual é a distância entre o centro desta quinta esfera e a mesa?

Resolução:

Abaixo está um desenho que tentei fazer para representar o problema.

É um pouco complicado de desenhar porque é uma coisa tridimensional, mas acho que dá pra tentar entender. Temos quatro esferas sobre a mesa, formando um quadrado com seus centros, que seria a base da pirâmide que tracei em vermelho no desenho. Como o lado do quadrado mede 20 cm e os raios das esferas medem 10 cm, as 4 esferas devem estar se tangenciando. Colocando a quinta esfera, que no desenho fiz de azul, sobre as outras 4, esta também ira tangenciá-las, de modo que você pode imaginar o centro dessa quinta esfera como o vértice de uma pirâmide de base quadrada (traçado vermelho do desenho). Todas as arestas da pirâmide terão 20 cm, porque são as distâncias entre os centros de duas esferas sempre.

Agora queremos saber a distância do centro da quinta esfera à mesa. Para isso devemos calcular a altura da pirâmide e depois somar 10cm que é a distância da base quadrada da pirâmide à mesa, já que essa base está na altura dos centros das 4 esferas cujos raios são iguais a 10cm.

Para calcularmos a altura da pirâmide, veja o segundo desenho na mesma figura que enviei anexada. Ao traçarmos a altura da pirâmide, traçamos um segmento do vértice até o centro do quadrado da base. Assim, formamos um triângulo retângulo com uma aresta lateral, a altura e metade da diagonal do quadrado da base. Então podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura, se soubermos a metade da diagonal do quadrado.

Se o quadrado da base tem lado 20cm, sabemos que a diagonal de um quadrado é a medida do lado vezes a raiz de 2. Como queremos a metade disso:

d/2 = 20.raiz(2)/2

d/2 = 10.raiz(2)

E agora podemos encontrar a altura da pirâmide usando Pitágoras:

h² + (d/2)² = 20²

h² = 20² – (d/2)²

h² = 20² – [10.raiz(2)]²

h² = 400 – 200

h² = 200

h = 10.raiz(2)

Portanto a distância entre o centro da esfera e a mesa é essa altura da pirâmide mais um raio das esferas que estão sobre a mesa:

distância = h + r

distância = 10.raiz(2) + 10

distância = 10.[raiz(2) + 1]