Resolução:
Primeiro é bom você tentar imaginar como elas estão exatamente posicionadas e como o cubo as tangencia. Imagine que você coloca 4 esferas sobre um plano, cada uma tangente a outras duas, de tal maneira que seus centros formem um quadrado. então você coloca uma quinta esfera sobre essas 4 e uma sexta esfera sob elas. Segue um desenhei que mostra, mais ou menos, isso visto de cima. Aproveitei pra já colocar como o cubo tem que ficar para tangenciar todas as esferas.
Agora pela figura você pode ver que a linha azul tem a medida da aresta do cubo. E podemos ver que a linha azul é a soma de um raio, a diagonal do quadrado (vermelho) formado pelos centros das quatro esferas e mais um raio de cada lado.
Como o quadrado formado pelos centros das esferas tem lado igual a dois raios, sua diagonal será:
d = 2.R.raiz(2)
Agora somando tudo temos a aresta do cubo:
= R + d + R
= R + 2.R.raiz(2) + R
= 2R.[1 + raiz(2)]