2) Considere uma família numerosa tal que:

– cada filho do sexo masculino tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos;

– cada filho do sexo feminino tem um número de irmãs igual ao de irmãos acrescido de 2 unidades;

Pergunta: Ao escolher-se ao acaso 2 filhos dessa família, qual a probabilidade de eles serem de sexos opostos?

Resolução:

Digamos que haja, entre todos os irmãos, “h” homens e “m” mulheres. Então cada homem tem “h – 1” irmãos e “m” irmãs. Como o problema diz que cada filho do sexo masculino tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos:

2.(h – 1) = m

Agora, cada mulher tem “m – 1” irmãs e “h” irmãos. E como o problema diz que cada filho do sexo feminino tem um número de irmãs igual ao de irmãos acrescido de 2 unidades:

m – 1 = h + 2

Podemos então juntar as duas equações e teremos um sistema:

2.(h – 1) = m

m – 1 = h + 2

Substituindo o valor de “m” da primeira equação na segunda equação:

m – 1 = h + 2

2.(h – 1) – 1 = h + 2

2h – 2 – 1 = h + 2

2h – 3 = h + 2

2h – h = 2 + 3

h = 5

m = 2.(h – 1)

m = 2.(5 – 1)

m = 2.4

m = 8

Então sabemos que temos 5 homens e 8 mulheres. Agora queremos saber as chances de, ao escolhermos dois filhos, eles serem do sexo oposto. Para isso temos que saber qual o total de pares que podemos fomar tendo um filho de cada sexo e qual o total de pares que podemos formar com os 13 filhos, sem restrições.

O total de pares de filhos, sendo um de cada sexo, podemos calcular assim: cada homem forma par com uma mulher, então para cada homem há 8 pares possíveis. Como são 5 homens, o total é de:

5.8 = 40 pares com filhos de sexo oposto possíveis.

Para saber o total de pares, precisamos calcular o número de combinações de 13 elementos tomados 2 a 2, que é o número de subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 13 elementos (filhos).

C(13, 2) = 13! / (2!.11!)

= 13.12.11! / 2.11!

= 13.12 / 2

= 13.6

= 78 pares possíveis (sem restrições)

E a probabilidade que queremos é o número de casos favoráveis (pares com filhos de sexo diferente) dividido pelo total de casos possíveis (sem restrições).

P = 40/78

P = 20/39

P =~ 0,513

Resposta: Ao escolher-se ao acaso 2 filhos dessa família, a probabilidade de eles serem de sexos opostos é de aproximadamente 0,513.

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