2) Considere um triângulo equilátero e um hexágono regular de perímetros iguais. Determine a área do hexágono, em cm², sabendo que o triângulo tem área igual a 48 cm².

Resolução:

Seja o lado do triângulo igual a T e o lado do hexágono igual a H. A área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula:

área triângulo equilátero = T².raiz(3)/4

Como o problema disse que a área do triângulo é 48:

T².raiz(3)/4 = 48   (i)

A área de um hexágono regular em função do seu lado é igual à área de 6 triângulo equiláteros de lado igual ao lado do hexágono:

área do hexágono regular = 6.H².raiz(3)/4

área do hexágono regular = 3.H².raiz(3)/2   (ii)

Como o perímetro do hexágono é igual ao perímetro do triângulo, podemos escrever:

perímetro do hexágono = perímetro do triângulo

6H = 3T

T = 2H

Tomando a equação (i) e colocando o valor de T em função de H, temos:

T².raiz(3)/4 = 48

(2H)².raiz(3)/4 = 48

4.H².raiz(3)/4 = 48

H².raiz(3) = 48

E como queremos saber o valor da equação (ii), podemos colocar nela esse valor de H².raiz(3):

= 3.H².raiz(3)/2

= 3.48/2

= 3.24

= 72

Resposta: O hexágono tem área de 72 cm².