a) Qual a probabilidade de exatamente duas meninas sentarem juntas?
b) Qual a probabilidade das três meninas sentarem juntas?
c) Qual a probabilidade de um menino sentar entre duas meninas?
d) Qual a probabilidade de dois meninos sentarem entre duas meninas?
Resolução:
a) Primeiro você pode escolher duas meninas para ficarem juntas, o que pode ser feito de:
C3, 2 = 3 maneiras
Depois, como elas estão em fila, você pode colocar as duas que você escolheu de duas maneiras diferentes, uma na frente e a outra atrás ou vice-versa. Então tem que multiplicar o resultado anterior por 2 porque cada
dupla que escolher tem duas maneiras de ficar na fila:
= 2.C3, 2
Feito isso, você tem uma dupla de meninas, mais uma menina sozinha e 3 meninos para colocar em fila. As duas meninas são como uma pessoa só para trocar de lugar com as outras porque elas ficarão juntas:
MM H H H M
_ _ _ _ _
E você pode permutá-los de:
P5 = 5! = 120 maneiras
O que nos dá um total de:
= 2.C3, 2.P5
= 720 maneiras
Porém, fazendo assim, estamos contando duas vezes cada vez que as mulheres estão as 3 juntas! Porque ao permutarmos:
MM H H H M
_ _ _ _ _
Pode acontecer da menina que está sozinha ficar do lado das outras duas. E ela pode ficar tanto de um lado como do outro. Então, digamos que as meninas sejam A, B e C. Para aparecer as 3 juntas nessa ordem pode acontecer duas coisas:
AB C H H H
_ _ _ _ _
A BC H H H
_ _ _ _ _
Então contamos duas vezes cada uma dessas combinações e nenhuma delas nos interessa. Então temos que tirar duas vezes o número de maneiras das 3 meninas estarem juntas desse total de 720. O total de maneiras das 3 meninas estarem juntas na fila está calculado no item b e dá 144. Como queremos duas vezes isso, temos que tirar 288 de 720:
= 720 – 288
= 432 maneiras
Como queremos a probabilidade de isso acontecer, temos que dividir isso pelo total de permutações das 6 pessoas:
P6 = 6! = 720 maneiras
O que nos dá como resposta:
P = 432/720
P = 0,6
b) Para as meninas estarem juntas, temos quatro elementos para permutar:
MMM H H H
_ _ _ _
O que dá:
P4 = 4! = 24 maneiras
E podemos permutar as mulheres entre si de:
P3 = 3! = 6 maneiras
O que nos dá um total de:
P4 . P3 = 6 . 24 = 144 maneiras
Como queremos a probabilidade de isso acontecer, temos que dividir pelo total de permutações que já vimos que é 720 (P6):
P = 144/720
P = 0,2
c) O melhor jeito que achei para resolver esse foi colocando todas as maneiras de colocarmos só um menino entre duas meninas que pode ser assim:
O menino entre as mulheres é o segundo da fila:
M H M M H H
M H M H H M
O menino entre as mulheres é o terceiro da fila:
H M H M M H
M M H M H H
O menino entre as mulheres é o quarto da fila:
H H M H M M
H M M H M H
O menino entre as mulheres é o quinto da fila:
M H H M H M
H H M M H M
Repare que na verdade as quatro últimas disposições são iguais às quatro primeiras só que ao contrário. E veja que não podemos ter:
M H M H M H
porque não temos só “um” menino entre duas mulheres. Tanto o segundo da fila como o quarto da fila estão entre duas mulheres. Então tirei essas disposições. Bom, temos então 8 disposições para calcularmos. Pegue uma das disposições, a primeira por exemplo:
M H M M H H
Para colocar essas 6 pessoas dessa maneira, para a primeira pessoa temos 3 opções porque só pode ser mulher:
3 _ _ _ _ _
A segunda tem que ser homem, então temos 3 opções:
3 3 _ _ _ _
Depois vem uma mulher, aí temos 2 opções:
3 3 2 _ _ _
Depois outra mulher:
3 3 2 1 _ _
E assim por diante:
3 3 2 1 2 1
O que nos dá um total de:
3.3.2.1.2.1 = 36 maneiras
E veja que todas as 8 disposições podem ser feitas de 36 maneiras, o que nos dá um total de:
= 8 . 36
= 288 maneiras
E como queremos a probabilidade, temos que dividir pelo total de permutações possíveis:
P = 288/720
P = 0,4
d) Faremos esse como o item c), colocando as disposições possíveis:
M H H M H M
M H H M M H
H M H H M M
M M H H M H
M H M H H M
H M M H H M
Temos então 6 disposições e já sabemos pelo item c) que cada disposição pode ser feita de 36 maneiras, o que nos dá um total de:
= 6 . 36
= 216 maneiras
E como queremos a probabilidade, temos que dividir pelo total de permutações possíveis:
P = 216/720
P = 0,3