2) Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de exatamente duas meninas sentarem juntas?

b) Qual a probabilidade das três meninas sentarem juntas?

c) Qual a probabilidade de um menino sentar entre duas meninas?

d) Qual a probabilidade de dois meninos sentarem entre duas meninas?

Resolução:

a) Primeiro você pode escolher duas meninas para ficarem juntas, o que pode ser feito de:

C3, 2 = 3 maneiras

Depois, como elas estão em fila, você pode colocar as duas que você escolheu de duas maneiras diferentes, uma na frente e a outra atrás ou vice-versa. Então tem que multiplicar o resultado anterior por 2 porque cada

dupla que escolher tem duas maneiras de ficar na fila:

= 2.C3, 2

Feito isso, você tem uma dupla de meninas, mais uma menina sozinha e 3 meninos para colocar em fila. As duas meninas são como uma pessoa só para trocar de lugar com as outras porque elas ficarão juntas:

MM H H H M
  _   _  _  _  _

E você pode permutá-los de:

P5 = 5! = 120 maneiras

O que nos dá um total de:

= 2.C3, 2.P5

= 720 maneiras

Porém, fazendo assim, estamos contando duas vezes cada vez que as mulheres estão as 3 juntas! Porque ao permutarmos:

MM H H H M
  _   _  _  _  _

Pode acontecer da menina que está sozinha ficar do lado das outras duas. E ela pode ficar tanto de um lado como do outro. Então, digamos que as meninas sejam A, B e C. Para aparecer as 3 juntas nessa ordem pode acontecer duas coisas:

AB C H H H
 _   _  _  _  _

A BC H H H
_   _   _  _  _

Então contamos duas vezes cada uma dessas combinações e nenhuma delas nos interessa. Então temos que tirar duas vezes o número de maneiras das 3 meninas estarem juntas desse total de 720. O total de maneiras das 3 meninas estarem juntas na fila está calculado no item b e dá 144. Como queremos duas vezes isso, temos que tirar 288 de 720:

= 720 – 288

= 432 maneiras

Como queremos a probabilidade de isso acontecer, temos que dividir isso pelo total de permutações das 6 pessoas:

P6 = 6! = 720 maneiras

O que nos dá como resposta:

P = 432/720

P = 0,6

b) Para as meninas estarem juntas, temos quatro elementos para permutar:

MMM H H H
   _     _  _  _

O que dá:

P4 = 4! = 24 maneiras

E podemos permutar as mulheres entre si de:

P3 = 3! = 6 maneiras

O que nos dá um total de:

P4 . P3 = 6 . 24 = 144 maneiras

Como queremos a probabilidade de isso acontecer, temos que dividir pelo total de permutações que já vimos que é 720 (P6):

P = 144/720

P = 0,2

c) O melhor jeito que achei para resolver esse foi colocando todas as maneiras de colocarmos só um menino entre duas meninas que pode ser assim:

O menino entre as mulheres é o segundo da fila:

M H M M H H

M H M H H M

O menino entre as mulheres é o terceiro da fila:

H M H M M H

M M H M H H

O menino entre as mulheres é o quarto da fila:

H H M H M M

H M M H M H

O menino entre as mulheres é o quinto da fila:

M H H M H M

H H M M H M

Repare que na verdade as quatro últimas disposições são iguais às quatro primeiras só que ao contrário. E veja que não podemos ter:

M H M H M H

porque não temos só “um” menino entre duas mulheres. Tanto o segundo da fila como o quarto da fila estão entre duas mulheres. Então tirei essas disposições. Bom, temos então 8 disposições para calcularmos. Pegue uma das disposições, a primeira por exemplo:

M H M M H H

Para colocar essas 6 pessoas dessa maneira, para a primeira pessoa temos 3 opções porque só pode ser mulher:

3 _ _ _ _ _

A segunda tem que ser homem, então temos 3 opções:

3 3 _ _ _ _

Depois vem uma mulher, aí temos 2 opções:

3 3 2 _ _ _

Depois outra mulher:

3 3 2 1 _ _

E assim por diante:

3 3 2 1 2 1

O que nos dá um total de:

3.3.2.1.2.1 = 36 maneiras

E veja que todas as 8 disposições podem ser feitas de 36 maneiras, o que nos dá um total de:

= 8 . 36

= 288 maneiras

E como queremos a probabilidade, temos que dividir pelo total de permutações possíveis:

P = 288/720

P = 0,4

d) Faremos esse como o item c), colocando as disposições possíveis:

M H H M H M

M H H M M H

H M H H M M

M M H H M H

M H M H H M

H M M H H M

Temos então 6 disposições e já sabemos pelo item c) que cada disposição pode ser feita de 36 maneiras, o que nos dá um total de:

= 6 . 36

= 216 maneiras

E como queremos a probabilidade, temos que dividir pelo total de permutações possíveis:

P = 216/720

P = 0,3

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