1) Num losango de área S, uma diagonal é o dobro da outra. Achar a expressão do lado do losango em função de S.

Resolução:

A área de um losango é dada em função das suas diagonais D (maior) e d (menor):

S = D.d/2

Se uma diagonal é o dobro da outra, a diagonal maior é duas vezes a menor:

D = 2d

Colocando isso na área S:

S = D.d/2

S = 2d.d/2

S = d²

Como as diagonais do losango são perpendiculares e se encontram nos seus pontos médios, se você pegar um lado do losango junto com a metade da diagonal maior e a metade da diagonal menor, você tem um triângulo retângulo, onde o lado do losango é a hipotenusa. Chamando de L o lado do losango, podemos escrever o teorema de Pitágoras:

L² = (D/2)² + (d/2)²

L² = (2d/2)² + (d/2)²

L² = d² + d²/4

L² = 5d²/4

Como S = d²:

L² = 5d²/4

L² = 5.S/4

L = raiz(5.S/4)

L = raiz(5.S)/2

Resposta: O lado do losango mede raiz(5.S)/2