a) 1.365 b) 860 c) 240 d) 120 e) 35
Resolução:
Como ele vai doar pelo menos dois livros para cada biblioteca, já sabemos que 8 livros não temos escolha, vão 2 pra cada uma. Agora temos que distribuir os 7 livros restantes enter as 4 bibliotecas.
Digamos que daremos x livros para a primeira, y, z e w livros para a segunda, terceira e quarta bibliotecas respectivamente. Isso é a mesma coisa que encontrarmos todas as soluções inteiras não negativas da seguinte equação:
x + y + z + w = 7
Por exemplo, algumas soluções seriam:
2 + 0 + 3 + 2 = 7
3 + 0 + 2 + 2 = 7
0 + 0 + 0 + 7 = 7
Para isso temos uma fórmula de combinações com repetição que é a seguinte:
Seja m o número que queremos obter como soma (nesse caso é 7) e seja n o número de variáveis (nesse caso é 4), para sabermos o número de soluções inteiras não negativas dessa equação faremos a combinação de m + n – 1 termos tomados n – 1 a n – 1:
= C(m+n-1, n-1)
Nesse caso temos m = 7 e n = 4, então:
= C(7+4-1, 4-1)
= C(10, 3)
= 10!/3!.7!
= 120
Outra forma de pensar pode ser que você tem 7 unidades para separar em 4 partes. Podemos considerar cada unidade como um traço e cada separação como uma barra vertical. Então temos que ordenar esses 10 elementos e cada ordenação significa uma solução. Por exemplo 2 + 0 + 3 + 2 = 7 seria:
_ _ | | _ _ _ | _ _
Já 3 + 0 + 2 + 2 = 7 seria:
_ _ _ | | _ _ | _ _
E 0 + 0 + 0 + 7 = 7 seria:
| | | _ _ _ _ _ _ _
Portanto precisamos fazer uma permutação com repetição de 10 elementos quando temos um elemento que repete 3 vezes e outro que repete 7 vezes o que nos dá:= P103,7
= 10!/3!.7!
= 120