E lembrando que:
|sen z| <= |z|
|cos t| <= 1
|a.b| = |a|.|b|
Compare |sen x – sen y| e |x – y| com x e y números reais quaisquer.
Resolução:
Queremos comparar |sen x – sen y| com |x – y|, então vamos seguir as recomendações do problema e começar da fórmula:
sen x – sen y = 2.sen [(x – y)/2]. cos [(x + y)/2]
Colocando o módulo dos dois lados da igualdade:
sen x – sen y = 2.sen [(x – y)/2]. cos [(x + y)/2]
|sen x – sen y| = |2.sen [(x – y)/2]. cos [(x + y)/2]|
Da propriedade |a.b| = |a|.|b|, podemos ver que isso vale também para 3 números:
|a.b| = |a|.|b|, fazendo b = c.d,
|a.c.d| = |a|.|c.d|, e como |c.d| = |c|.|d|,
|a.c.d| = |a|.|c|.|d|
Então podemos desmembrar o produto do 2º membro:
|sen x – sen y| = |2.sen [(x – y)/2]. cos [(x + y)/2]|
|sen x – sen y| = |2|.|sen [(x – y)/2]|.|cos [(x + y)/2]|
|sen x – sen y| = 2.|sen [(x – y)/2]|.|cos [(x + y)/2]|
Como |cos t| <= 1, esse produto ficará menor ou igual a:
|sen x – sen y| = 2.|sen [(x – y)/2]|.|cos [(x + y)/2]|
|sen x – sen y| <= 2.|sen [(x – y)/2]|.1
|sen x – sen y| <= 2.|sen [(x – y)/2]|
Usando a outra propriedade, |sen z| <= |z|:
|sen x – sen y| <= 2.|sen [(x – y)/2]| <= 2.|(x – y)/2|
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y)/2|
E podemos escrever (x – y)/2 assim: (x – y).(1/2),
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y)/2|
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y).(1/2)|
E podemos usar novamente |a.b| = |a|.|b|:
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y).(1/2)|
|sen x – sen y| <= 2.|(x – y)|.|(1/2)|
|sen x – sen y| <= 2.|x – y|.(1/2)
|sen x – sen y| <= |x – y|