1) Demonstre que, se A, B, C são ângulos internos de um triângulo, vale a relação: sen² A + sen² B + sen² C = 2.[1 + (cos A)(cos B).(cos C)]

Resolução:

sen² A + sen² B + sen² C = 2.[1 + (cos A)(cos B).(cos C)]

Talvez haja um jeito mais simples de se resolver essa questão, mas isso foi o melhor que consegui. Vou partir do primeiro membro para tentar chegar ao segundo.
= sen² A + sen² B + sen² C

Vou usar o seguinte:
Como A + B + C = 180°
A = 180° – B + C
sen A = sen [180° – (B + C)]
sen A = sen (B + C)

E analogamente temos as outras relações:
sen B = sen (A + C)
sen C = sen (A + B)

Então vou colocar isso na nossa expressão:
= sen² A + sen² B + sen² C
= [sen (B + C)]² + [sen (A + C)]² + [sen (A + B)]²
= [sen B.cos C + sen C.cos B]² + [sen A.cos C + sen C.cos A]² + [sen B.cos A + sen A.cos B]²
= sen² B.cos² C + 2.sen B.cos C.sen C.cos B + sen² C.cos² B + sen² A.cos² C + 2.sen A.cos C.sen C.cos A + sen² C.cos² A + sen² B.cos² A + 2.sen B.cos A.sen A.cos B + sen² A.cos² B

Como isto está muito grande, vou fazer uma parte de cada vez. primeiro vou pegar apenas os 3 primeiros termos:
= sen² B.cos² C + 2.sen B.cos C.sen C.cos B + sen² C.cos² B
= sen² B.cos² C + sen B.cos C.sen C.cos B + sen B.cos C.sen C.cos B + sen² C.cos² B
= (sen B.cos C).(sen B.cos C + sen C.cos B) + (sen C.cos B).(sen C.cos B + sen B.cos C)
= (sen B.cos C).[sen (B + C)] + (sen C.cos B).[sen (B + C)], pelo que vimos antes,
= (sen B.cos C).(sen A) + (sen C.cos B).(sen A)
= sen B.cos C.sen A + sen C.cos B.sen A

Fazendo o mesmo com os próximos 3 termos, você terá a mesma coisa praticamente, só mudam as variáveis:
= sen² A.cos² C + 2.sen A.cos C.sen C.cos A + sen² C.cos² A
= sen A.cos C.sen B + sen C.cos A.sen B

E com os 3 últimos termos:
= sen² B.cos² A + 2.sen B.cos A.sen A.cos B + sen² A.cos² B
= sen A.cos B.sen C + sen B.cos A.sen C

Juntando tudo novamente:
= sen B.cos C.sen A + sen C.cos B.sen A + sen A.cos C.sen B + sen C.cos A.sen B + sen A.cos B.sen C + sen B.cos A.sen C
= 2.sen B.cos C.sen A + 2.sen C.cos B.sen A + 2.sen C.cos A.sen B
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen C.cos B.sen A + sen C.cos A.sen B)
= 2.[sen B.cos C.sen A + sen C.(cos B.sen A + cos A.sen B)]
= 2.{sen B.cos C.sen A + sen C.[sen (A + B)]}
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen C.sen C)
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen² C)

Agora vem o pior! Veja só o que vamos usar:
cos (A + B) = cos A.cos B – sen A.sen B
sen A.sen B = cos A.cos B – cos (A + B)

Agora vejamos o que é cos(A + B):
A + B + C = 180°
A + B = 180° – C
cos (A + B) = cos (180° – C)
cos (A + B) = cos 180°.cos C + sen 180°. sen C
cos (A + B) = (-1).cos C + 0. sen C
cos (A + B) = -cos C

Então, juntando essas duas relações:
sen A.sen B = cos A.cos B – cos (A + B)
sen A.sen B = cos A.cos B – (-cos C)
sen A.sen B = cos A.cos B + cos C

E colocando isso na equação:
= 2.(sen B.cos C.sen A + sen² C)
= 2.(cos C.sen A.sen B + sen² C)
= 2.[cos C.(cos A.cos B + cos C) + sen² C]
= 2.(cos C.cos A.cos B + cos² C + sen² C)
= 2.(cos C.cos A.cos B + 1)
= 2.(1 + cos C.cos A.cos B)
= segundo membro