a) Ache B1 em funçao de q.
b) Existe algum valor An = Bn?
c) Que condição n e x devem satisfazer para que An = Bx?
Resolução:
Sabemos que o termo geral de uma PG é sempre o primeiro termo vezes a razão elevado a n – 1. Como An tem primeiro termo 1 e razão q2, podemos escrever seu termo geral:
An = 1.(q2)n-1
An = (q2)n-1
An = q2n – 2
Já Bn não sabemos o primeiro termo, mas sabemos que a razão é q. Digamos que o primeiro termo seja b, podemos escrever o termo geral de Bn como o produto do primeiro termo (b) pela razão (q) elevada a n – 1:
Bn = b.qn – 1
a) O problema pede B1, que chamei de b. Como ele diz que A11 = B17, vamos encontrar cada um e igualá-los:
An = q2n – 2
A11 = q2.11 – 2
A11 = q22 – 2
A11 = q20
Bn = b.qn – 1
B17 = b.q17 – 1
B17 = b.q16
A11 = B17
q20 = b.q16
(q20)/(q16) = b
q4 = b
b = q4
B1 = q4
b) Agora que sabemos quem é b, podemos achar o termo geral de Bn:
Bn = b.qn – 1
Bn = q4.qn – 1
Bn = qn – 1 + 4
Bn = qn + 3
Para saber se existe algum termo An = Bn, vamos igualar An com Bn:
An = Bn
q2n – 2 = qn + 3, os expoentes devem ser iguais,
2n – 2 = n + 3
2n – n = 3 + 2
n = 5
Então concluímos que A5 = B5 (os quintos termos das duas PGs são iguais)
c) Nesse item temos An = Bx, repare que é quase igual ao item b, só que no item b tínhamos o mesmo valor de n para as duas sequências. Agora são termos diferentes, por exmplo, o 10º termo de uma PG é igual ao 5º termo da outra.
Para resolver isso, faremos a mesma coisa que antes, igualando as duas equações, substituindo n e x em An e Bx:
An = q2n – 2
Bn = qn + 3
Bx = qx + 3
Igualando:
An = Bx
q2n – 2 = qx + 3, os expoentes devem ser iguais,
2n – 2 = x + 3
2n – 2 – 3 = x
2n – 5 = x
x = 2n – 5
Como n e x são números inteiros maiores que zero, pois são os termos da PG, temos que:
x > 0
2n – 5 > 0
2n > 5
n > 5/2
n > 2,5
n >= 3
E repare que como x = 2n – 5, x terá que ser sempre ímpar, pois 2n é um número par e ao tirarmos 5 dele, teremos um número ímpar.
Resposta: x = 2n – 5, onde x é um número inteiro positivo ímpar e n é um inteiro positivo maior ou igual a 3.