1) Seja An uma progressão geométrica de 1º termo A1 = 1 e razão q², onde q é um número inteiro maior que 1. Seja Bn uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que A11 = B17. Neste caso:

a) Ache B₁ em funçao de q.

b) Existe algum valor A_n = B_n?

c) Que condição n e x devem satisfazer para que A_n = B_x?

Resolução:

Sabemos que o termo geral de uma PG é sempre o primeiro termo vezes a razão elevado a n – 1. Como A_n tem primeiro termo 1 e razão q², podemos escrever seu termo geral:

A_n = 1.(q²)^n-1

A_n = (q²)^n-1

A_n = q^{2n – 2}

Já B_n não sabemos o primeiro termo, mas sabemos que a razão é q. Digamos que o primeiro termo seja b, podemos escrever o termo geral de B_n como o produto do primeiro termo (b) pela razão (q) elevada a n – 1:

B_n = b.q^{n – 1}

a) O problema pede B₁, que chamei de b. Como ele diz que A₁₁ = B₁₇, vamos encontrar cada um e igualá-los:

A_n = q^{2n – 2}

A₁₁ = q^{2.11 – 2}

A₁₁ = q^{22 – 2}

A₁₁ = q²⁰

B_n = b.q^{n – 1}

B₁₇ = b.q^{17 – 1}

B₁₇ = b.q¹⁶

A₁₁ = B₁₇

q²⁰ = b.q¹⁶

(q²⁰)/(q¹⁶) = b

q⁴ = b

b = q⁴

B₁ = q⁴

b) Agora que sabemos quem é b, podemos achar o termo geral de B_n:

B_n = b.q^{n – 1}

B_n = q⁴.q^{n – 1}

B_n = q^{n – 1 + 4}

B_n = q^{n + 3}

Para saber se existe algum termo A_n = B_n, vamos igualar A_n com B_n:

A_n = B_n

q^{2n – 2} = q^{n + 3}, os expoentes devem ser iguais,

2n – 2 = n + 3

2n – n = 3 + 2

n = 5

Então concluímos que A₅ = B₅ (os quintos termos das duas PGs são iguais)

c) Nesse item temos A_n = B_x, repare que é quase igual ao item b, só que no item b tínhamos o mesmo valor de n para as duas sequências. Agora são termos diferentes, por exmplo, o 10º termo de uma PG é igual ao 5º termo da outra.

Para resolver isso, faremos a mesma coisa que antes, igualando as duas equações, substituindo n e x em A_n e B_x:

A_n = q^{2n – 2}

B_n = q^{n + 3}

B_x = q^{x + 3}

Igualando:

A_n = B_x

q^{2n – 2} = q^{x + 3}, os expoentes devem ser iguais,

2n – 2 = x + 3

2n – 2 – 3 = x

2n – 5 = x

x = 2n – 5

Como n e x são números inteiros maiores que zero, pois são os termos da PG, temos que:

x > 0

2n – 5 > 0

2n > 5

n > 5/2

n > 2,5

n >= 3

E repare que como x = 2n – 5, x terá que ser sempre ímpar, pois 2n é um número par e ao tirarmos 5 dele, teremos um número ímpar.

Resposta: x = 2n – 5, onde x é um número inteiro positivo ímpar e n é um inteiro positivo maior ou igual a 3.